372(2)についてです。 a≠0なのはなぜですか？？

をもてばよい したがって、判別式をDとすると D =62-3a(a-1) > 0 4 -3a²+3a+36 > 0 a²-a-12<0 (a+3)(a −4) <0 -3<a<4 a0 であるから、求めるαの値の範囲は -3<a<0, 0<a<4 (2) y = 3ax² +12x+α-1≧0 がつねに成り立 てばよい。そのためには D a> 0 かつ が成り立てばよい。 D 0より 4 ≤0 62-3a(a-1)≦0 a²-a-12 ≥ 0 AOC (a+3)(a-4)≧0 a≦-3,4≦a a>0 より 求めるαの値の範囲は 4 ≤ a 372 (1) f'(x)=3{x2+4(1-a)x-16a} =3(x-4a)(x+4) より, f'(x)=0 となるxの値は x = 4a, 42 a=-1のとき, 極値はない。 αキ-1 のとき, f(x)はx=4α, -4 で極値 OTO をとる。 4a < 4 すなわちα < -1 のとき x=4α で極大値 f(4a) = 64a³+96(1-a)a² — 192a² = -32a²(a +3) x= -4 で極小値 f(-4) = -64+96(1-α ) + 192a = 96a +32 = 32(3a+1) をとる。 4a> 4 すなわちa> -1 のとき をとる。 x=4α で極小値 f(4a) = -32a²(a+3) x=4で極大値 f(-4) = 32(3a+1) 21841 以上をまとめると a=-1 のとき 極値はない。 a<-1 のとき 極大値 -32² (a+3) (x=4のとき) 極小値 32(3a+1) (x= -4 のとき) a> -1 のとき 極大値 32 (3a+1) (x=4のとき) 極小値-32² (a+3) (x=4a のとき) (2) 極値の積が負であればよいから 求める条件 は, f(4a)f(-4)<0である。 ここで f(4a) = -32a²(a+3) f(-4) = 32(3a+1) であるから -32a²(a+3) 32 (3a+1) < 0 (a+3) (3a+1) >0 これより a<-3 または1/13 < <a すなわち ただし、a≠ 0 であるから? a<-3 または 1/3 <a<0 373 (1) f(x)=x-x" +12 であるから f'(x) = 3x²-2x 接点のx座標をすると, しの方程式は y (t³-t²+12) = (3t² - 2t)(x-t) y = (3t2-2t)x-2t+f' + 12 すなわち これが原点を通ることから -2t3 + t2 +12 = 0 または 0<a 2t³-t²-12-0 すなわち この方程式の左辺は, (t-2)(22+3t + 6) = 0 と因数分解できる。 VESTE tは実数であるから t=2 したがって、直線の方程式は y = 8x (2) xx+12=8x よりーx² - 8x+12 = 0 直線y=8x が曲線 y=xx + 12 と x =2 で接することから (x-2)^(x+3)=0 PES したがって、接点以外の共有点のx座標は x=-3 よって、求める点の座標は (-3, -24) (3) (2)から,a 3,6=2である。 △PQR について, 辺 PQ の長さは一定であるか ら、△PQR の面積が最大となるのは, 点 R と直 [1

よく分かりません、教えてください。

演習 219. (1)a>0.6 >0とする. f(x)=x3-3abx+α+bのx>0における増減を調 べ, 極値を求めよ. (2) (1) の結果を利用して, 正の数p, g, rに対して p+a+rz³√/par >x3 815 が成り立つことを示せ.また, 等号が成立する条件を求めよ. -=D S (学習院大・改)

ホ〜モの解き方を教えてください。

問4 xy平面上において, 曲線 y = x3 - 4x² + 4x とx軸で囲まれた部分の面積は, フ である。また, この曲線と直線y = 7x + α が異なる3個の共有点をもつよ うな定数aの値の範囲は、 ホマ <a < ム メモ である。

必要条件では重解を持つ時の場合も考えていたのに必要十分条件になったら外されるのは何故ですか？そもそも①なぜ重解でも極値を持つ可能性があるのか②必要十分条件を考えたら重解の場合が外された理由(反例)、この2点を理解出来ていないです。

例題 2.5 a を実数とする. f(x)=x+3ax²+(4a²-3a)xについて, (1) 関数f(x) が極値をもつようなαの値の範囲を求めよ. (2) 関数 f(x) が極値をもつようなαに対して, 関数f(x) は x = pで極大値, x = q で極小値をとるとする. このとき, f(p) + f (g) を α を用いて表し, その 最大値を求めよ. 【解答】 (1) さ f'(x)=3x²+6ax +4a²-3a. ん 関数 f(x) が極値をもつための必要条件は、 2次方程式f'(x)=0が実数解をもつことである. B a + : f'(x) f(x) 7 7 (重解αをもつとき) 0 + x a f(x) 極大 > 極小 / 異なる2つの実数解 α, β (a <B)をもつとき S 増減表より, f(x) が極値をもつための必要十分条件は、 2次方程式f'(x)=0が異なる2つの実 数解をもつことであり, 0-0 + (3a)²-3(4a²-3a) >0. a(a-3) <0. よって, f(x) が極値をもつようなαの値の範囲は, -) 0<a<3. = (p)\+(0)1 (答)

至急お願します。 (1)のS＝の式の緑のマーカーのところの変形が分かりません！ あとこの変形はしなくても解けるのか教えて欲しいです🙇‍♀️

基本例題 250 3次曲線と面積 (1) 曲線 y=x-2x2-x+2 とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 (2) 曲線 y=x-4.x と曲線 y=3x2 で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 指針3次曲線(3次関数のグラフ)であっても,面積を求める方針は同じ。 ① グラフをかく 2 積分区間の決定 まず, 曲線とx軸, または2曲線の交点のx座標を求める。 解答 (1) x32x²-x+2=x2(x-2)-(x-2)=(x2-1)(x-2) =(x+1)(x-1)(x-2) よって, 曲線とx軸の交点のx座標は x=±1, 2 したがって,図から(*), 求める面積は S=(x-2x-x+2)dx-f(x-2x-x+2)dx =2S(-2x+2)dx-S(x-2x-x+2)dx +x] - [ * ^ - ²³²³ x ³ − + ² + 2x] 3 2 =2･2 = 8 2 13 37 + 3 3 12 12 (2) 2 曲線の共有点のx座標は, x-4x=3x2 を解くと, y=3x2 00000 y₁ (2) 東京電機大 ・基本 245, 246 重要 257 ③3 上下関係に注意 YA O (*) 曲線の概形について は, p.342 参照。ここで は, 極値を求める必要は ない。 (2) 曲線 y=x4xにつ いて. x(x+2)(x-2)

どうしてh(x)が正の値も負の値も両方取るのは、原点における接戦の傾きh’(0)が負になるときなんですか？

例題 5 センター試験本試 aを0でない実数とし、関数f(x) を f(x)=3ax² - (8a+6)x+4a+6rel により定める。 (1) b, u, vを実数, b=0 として,g(x)=3bx2+ux+v とおく。 g(x) が Lg(x)dx=-6 をみたし、座標平面において, y=g(x) の表す放物線C J 点(-1, 9) を通るとする。 このときuとはを用いて u=アイ +ゥ], v=1 エ オ と表される。さらに,放物線y=f(x) と放物線Cが,y 軸上で共有点をも ち,その点における2つの放物線の接線が一致するならば a=カキ, b=ク となり,その接線の方程式は y=ケコ x | サ A である。 (2) αを(1)の解のみに限定せずに, 0でない実数とする。 関数ん (x) を x h(x) = f* f ( t ) dt により定める。 このとき x=0 および x =2 におけるん (x) の値と微分係数 は,それぞれ ん(0) シ h(2)= h'(0)=セa+ソ タチ h'(2) である。 0≦x≦2の範囲でん(x) が正の値も負の値も両方とるのは a < のときである。 ツテ ト スズぞれ

207.3 このような記述でも問題ないですか？？

基本例題 207 3次関数が極値をもつ条件, もたない条件 ①①①① (1) 関数f(x)=x3+ax² が極値をもつとき,定数aの満たすべき条件を求めよ。 (2) 関数f(x)=x-6x2+6ax が極大値と極小値をもつような定数aの値の範囲 を求めよ。 (3) 関数f(x)=x+ax2+x+1が極値をもたないための必要十分条件を求めよ。 2012 ただし,αは定数とする。 ≪佐野衣 基本 201206 重要 210 地に。 指針 3次関数f(x) が 極値をもつ ⇔f'(x) の符号が変わる点がある =f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ ⇔f'(x)=0の判別式 D> 0 D 7/2 = ( (3) f'(x)=3x2+2ax+1 =(-2)^-1・2a=4-2a から, 4-2a>0より (1) f'(x)=3x2+2ax ENOD f(x) が極値をもつための条件は, f(x) = 0 が異なる2つの実 3次関数が極値をもつとき, 数解をもつことである。 3x²+2ax=0 の判別式をDとする 極大値と極小値を1つずつ もつ｡ -=a²-3.0=a² x(3x+2a)=0 から D 4 と D>0 ここで ゆえに,d²>0 から a≠0 (2) f'(x)=3x²-12x+6a=3(x²-4x+2a) f(x) が極大値と極小値をもつための条件は,f'(x)=0 が異 なる2つの実数解をもつことである。 よって, x2-4x+2a=0の判別式をDとすると ここで 3x2+2ax+1=0 実数解をもたない。 「よって, ① の判別式をDとすると 4 * Jen f(x) が極値をもたないための必要十分条件は,f'(x) の符号 が変わらないことである。 ゆえに, f'(x) = 0 すなわち D=α²-3.1=(a+√3)(a-√3) Džk (a+√3)(a-√3) ≤0 D≤0...... x=α 極大y=f(x)/ a <2 ① は実数解を1つだけもつかまたは D>0 の係数)>0のとき y=f'(x) / JAV ! a 極小 よって -√≦a≦√ (3) x=0, よって a≠0 としてもよい。 D=0 2 y=f(x) / !!! OD<O 3 + NOSTA y=f'(x)) (*) D<0 は誤り。 126ax が極大値と極小値をもつとき,定数αが 3. 9 6: 3 関数の増減と極大・極小

この問題の説明をして欲しいです。 動画で勉強するタイプなのですが動画がなくて理解できなくて困ってます💦 お願いします。

3次関数のグラフとその接線の共有点 本 例題 185 曲線 C:y=x-x 上にx座標が1である点Aがある。点Aにおける接線が Cと交わるもう1つの点のx座標を求めよ。 [類中央大〕 基本 174

ⅰとⅱの場合分けをする理由はⅰのときは√aの式にできないからですか？また、アとイの場合分けで、1をアの方に入れても大丈夫でしょうか？

0≤x≤I 既方αの値によって関数が変化するので、 場合分けをする. 関数の最大 最小を調べるには,極値と区間の両端で の値を比べればよかったので、 場合分けのポイントは, 極値と区間の位置関係である. この場合、 極値が区間 minim に含まれるかどうか考えればよい. CARL 75 f(x)=-x+3ax より, f'(x)=-3x+3a=-3(x-a) (i) a≧0のとき -a20 £Y, x-a≧0 -3(x²-a) ≤00 - であるから, のよって、つねにf'(x) ≧0より、 f(x) は単調減少する。 したがって、 右の図より、彼をとる x=0 のとき, 最大値f(0)=0 () a>0 のとき f'(x) =-3(x+√a)(x-√a) f(x)のx≧0での増減表 は右のようになる。 ax (a は実数)の最大値を求め x 20 f'(x)+ √a 0 f(x) 07 極大 x=√a で極大かつ最大となり、 合衆 最大値f(a)=2√a (イ) a≧1 つまり、 3a-1 SER (ア) 0<a<1 つまり, 0<a<1のとき 区間 0≦x≦1の中にx=√a 2ava が入るから, 右の図より これはa≧1 のとき 100 区間 0≦x≦1でf'(x)≧0 ... YA 3a-1 1x より, f(x) は単調増加するので, 右の図より、x=1のとき, 最大値f(1)=3a-1 定義 (i), (日)より。 求める最大値は、a≧0のとき, YAS TIS 最大 +最大 valix Oiva x NJ (f'(x)のグラフを考 えると, NIVE 0<a<1のとき, 2aa a≧1 のとき, 3a-1 (i) a<0 a=0 ベベ ñ a>0 A: x=√a & x= -√√a で極値をとるが, 0≦x≦1の区間に x=-√a<0 が含ま れることはないので, x=√a のみ考える. (ア) 極値が区間に含 まれる場合 (イ) 極値が区間に含 まれない場合 0<√a<1, √az の辺々を2乗して、 0<a<1, a≧1

写真3枚目でなぜ微分をしているのですか？また、1回微分した所の途中式をお願いします！教えてください！

Y ab0 とする。 自然数nに対して,次の不等式を証明せよ。 a" -b" ≤ (a−b)(a"-¹ +b"-¹) [82年名古屋大学,