基本例題 34x+y+z=n の整数解の個数
(1)x+y+z=9,x≧0, y≧0, z≧0 を満たす整数x,y,zの組(x, y, z) は,
全部で何組あるか。なぜ(2)の別解のような解き方ができないのか?
(2) x+y+z=12 を満たす正の整数x,y,zの組(x,y,z) は,全部で何組ある
か。
[類 芝浦工大, 神奈川大]
基本33
重要 35
指針(1) 9個の○と2つの仕切り」を考え,例えば
00100
○○○は (x,y,z)=(2,3,4)
〇〇〇〇〇|〇〇〇〇」は (x, y, z)=(5, 4, 0)
を表す,と考えればよい。 つまり, (x,y,z) の組の総数は,異なる3種類のものから,
重複を許して9個取る組合せの総数となる。
(2) 正の整数解であるから,x,y,zは0であってはいけない。そこで
x-1=X,y-1=Y, z-1=Z
とおき0であってもよい X≧0, Y ≧0,Z≧0 の整数解の場合に帰着させる。
また,別解 のように, 12個の○と2つの仕切りで考えることもできる。
解答
(1) 異なる3種類のものから, 重複を許して9個取る組合せの
総数であるから
3Hg=3+9-1Cg=11C9=1102=55 (組)
(2) x-1=X,y-1=Y, z-1=Z とおくと
X≧0, Y≧0,Z≧0
このとき, x+y+z=12から
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=12
よって X+Y+Z= 9, X≧0, Y ≧ 0, Z ≧0.
(A)
求める正の整数解の組の個数は, A を満たす0以上の整数解
X,Y, Zの組の個数に等しいから, (1) の結果より
55 組
......
「別解 12個の○を並べる : ○○
DOOO
このとき ○○の間の11か所から2つを選んで仕切りを
入れ
A|B|C
としたときの, A, B, Cの部分にある〇の数をそれぞれ
x, y, zとすると, 解が1つ決まるから
11C2=55 (組)
9個のと2つのの順
列の総数と考えて
11 Co=1 C2 としてもよい。
x=X+1,y=Y+1,
z=Z+1 を代入。
例えば
000100000
1000
l£ (x, y, z)=(3, 5, 4)
を表す。
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1章
5
組合せ
