多様体の接空間に関する基底定理の証明です。g(q)=∫〜と定義した関数を微積分学の基本定理を用いながら変形してg(q)=g(0)+∑gᵢuⁱと導出するのですが、これがうまくいきません。 自分は、g(q)の式をまず両辺tで微分して、次に両辺uⁱで積分して、最後に両辺tで積分... Read More

12. Theorem.If{ = (x', , x") is a coordinate system in M at p, then its coordinate vectors d, lp, …… 0,l, forma basis for the tangent space T,(M); and D= E(x) 。 i=1 for all ve T(M). Proof. By the preceding remarks we can work solely on the coordinate neighborhood of G. Since u(c) = Othere is no loss of generality in assuming ど(p) = 0eR". Shrinking W if necessary gives E(W) = {qe R":|q| < } for some 8. Ifg is a smooth function on E(W) then for each 1 <isndefine og (tq) dt du g(9) = for all qe {(W). It follows using the fundamental theorem of calculus that g= g(0) + E&,u' on (W). Thus if fe &(M), setting g = f。' yields f= f(P) + Ex on U. Applying d/ax' gives f(p) = (f /0x)(P). Thus applying the tangent vector e to the formula gives (f) = 0+ E(x'(p) + E Ap)u(x) = E(Px). ず ax Since this holds for all f e &(M), the tangent vectors v and Z Ux') d,l, are equal. It remains to show that the coordinate vectors are linearly independent. But if ) a, o.l, = 0, then application to x' yields dxi 0=24 (P) = 2q d」= 4. In particular the (vector space) dimension of T,(M) is the same as the dimension of M.

四角で囲んであるところは、何か分からなくて波線を引いてあるところはΣが出てきてるので、その公式を使うかと思いきや、下の方では等差数列の和の公式で解かれてるのですが何が違うのですか？？教えて頂きたいです！🙇‍♀️🙇‍♀️

a,b*1- 2am+1bm+ 36m+1=0 (n=1, 2, 3, …)……① ) 数列 (an}は,初項3,公差p(+0)の等差数列であるから 標準 数列 (等差数列,等比数列,漸化式》 (第1日程)(解答) 45 第4問 n+1 3 +(n-1)p →ア ② a,ミ an+1=3+ np 分 b,= 3 rリー1 →イ レおされる。rキ0により,すべての自然数nについて, b,+0となる。①の両辺 をb。で割ることにより a,ba+ 3bm+1 =0 b。 - 2am+1+ bm ケ ba+1=rであるから bm ran-2am+1+3r=0 2a+1=r(an+ が成り立つことがわかる。④に2と③を代入すると 2(3+ np) =r{3+ (n-1)p+3} 6+2pn=6r+rpn- rp :(rー| 2)pn=r(p-_6 となる。⑤がすべてのnで成り立つことおよびp+0により, rー2=0すなわち ア=2を得る。さらに,このことから 0=2(p-6) +6 3 ) →ウ, エ 6 →オ,カ, キ …6 さ金 p= 3 →ク を得る。 以上から,すべての自然数nについて, anと b,が正であることもわかる。 (2) p=3, r=2であることから, {an}, {b.} の初項から第n項までの和は, それぞ れ次の式で与えられる。 こa=23+(k-1)×3}=X3k=3>k=3× n (n+1) k=1 k=1 k=1 k=1 3 -n (n+ 1 ) →ケ, コ, サ 2 こ=23×2-1 =3Z2*-1=3(1+2+2°+…+2"-1). k=1 k=1 k=1 =3× -3 (2"-1) →シ, ス =3×2-1 2"-1 II

？のところがわかりません！

第7章 202 基礎問 131 群数列(II) ずつ並んでいる数列を考える。 き,第n群の数字の総和を求めよ. (2) /第100 項目はどんな数字か. 初項から第100 項までの和を求めよ。 精講 いる群数列を考えるときは, 「第何群の何番目か?」 と考えます。 このとき,第n群に入っている項の数を用意し,各群の最後の数に着目1 す。(130と同じ表現になっているところがポイントです) 解答 (1) 第n群は,n, n, …,n n個 その総和は, n×n=n° (2) 100 項目が第n群にあるとする. 第(n-1)群の最後の数は, はじめから数えると 1+2+…+(n-1)=Dn(n-1) (項目)だから、 つ、 (nー1)<1003(n+1) 0s の+1) n(n-1)<200Sn(n+1) 第(n-1)群 第n群 第(n+1)群 100項目 Plo 第n(n-1)項-- 第分n(n+1)項

Σを用いて表すとどのようになりますか？

(2) 9+ 12 + 15+ 18+ ·+ 36

大学力学の問題です。 解き方を教えてください。 川岸の点oから対岸のpへ船が進む。川の水は速さvで流れ、船は水に対して速さvで進む。t=0において岸に固定されたΣ座標系の原点Oと川の水に固定されたΣ'座標系の原点O'は一致しており、その時船がOから出発した。 1... Read More

Y P 10 batas 流速:V 船 xおよび 0 0'

解き方を教えて欲しいです🙇‍♂️

2. (20 (a) [10 A, A2. Ax を、任意の確率的な事象の列とする。このとき、任意の確率Pに対して以下 が成立することを、確率論の公理を用いて示せ。 K P(A, U As U…UAx)<EPA) k=1

この式がこのように変化するようなのですが、なぜそうなるのかが分かりません💦 わかる方がいたら教えてほしいです🙇‍♂️

az=1,anti = Qnt3ntn(n=1,2,3,")で 定められる数列もQngの一般項を求めよ。 し No. Date anti -an: 3n+れ=bnとおく。 n-l an: Qit7be 31+ (3代+R) n-1

テストがテーマの短歌を考えてください

この画像の▫14⑵の問題がよくわからないです。教えていただけるとありがたいです。

回次の等比数列 {a,}の初項と公比を求めよ。また, 一般項を求めよ。 ただし, 公比は実数 とする。 (2) 第3項が12, 第7項が192 (1) 第3項が36, 第6項が972 12 初項が2, 公比が3の等比数列について 1) 初めて 100より大きくなるのは第何項か。 2 初項から第何項までの和が初めて 1000 より大きくなるか。 ある年初めに 100万円借りて,その年から年末に x円ずつ返して 10年で完済する。 年利率6%, 1年複利として xの値を円未満を切り上げて求めよ。 ただし,(1.06) 10=1.79 14 1) 和宮(4k-3(k+1)を求めよ。 を=1 数列 2-3, 4.5, 6-7, …の初項から第n項までの和を求めよ。 15 次の条件で定められる数列のa,, as, ay asを順に求めよ。 (1) aj=2, am+1=3a,+4 (2) a=-1, an41=Q»+2 16 第n項が次の式で表される数列の極限を調べよ。

証明の仕方がわからないので教えてください

2次の等式を証明せよ。 m n (1))(日 C;) = 0 n i=1 i=1 n 1 三 n =1