0 第3章 図形と方程式
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例題 108
飲
媒介変数と軌跡
tが実数値をとって変化するとき, 次の点Pはどのような図形を描くか。
(1)P(t+2, 2t?-3)
(2) 放物線 y=x-2(t+1)x+t+1 がx軸と異なる2点で交わるとき
の頂点P
考え方(1), (2)で用いられている変数tを媒介変数 (パラメータ)という.
点Pの座標を(x, y) とおいて, x, yをそれぞれtで表し, tを消去することで,x, v
の満たす方程式を導く.
解答 P(x, y)とおく.
YA
(x, y)=(t+2, 2t-3)
0, 2からtを消去す
「x=t+2
ly=2t?-3
のより,
これを②に代入して,
ソ=2(x-2)-3
よって,求める軌跡は,
放物線 y=2(x-2)°-3
(2) y=x°-2(t+1)x+t+1
={x
={x-(t+1)}?-tーt
より,頂点Pの座標は,
る。
t=x-2
2
tがすべての実数値を
とるとき,xもすべて
の実数値をとる。
放物線 y=2x°-8x+5
x
1
でもよい。
0.8-)
平方完成する。
(t+1, -ピーt)
x=t+1
したがって,
(x, y)=(t+1, -パー)
ly=ーf-t
ソ=ー(x-1)?-(x-1)=-x°+x
ここで, 放物線はx軸と異なる2点で交わるので,
0, 2より,
のより,t=x-1
これを2に代入
x軸と異なる2点で交
わるという条件から,
tの範囲に制限がつく.
(頂点のy座標)く0
ソ=ーーt<0
t(t+1)>0 より,
のから、
t<-1, 0<t
x-1<-1, 0<くx-1
Y4
より,
x<0, 1<x
よって, 求める軌跡は,
放物線 y=-x°+x の
さ<0, 1<x の部分
4
0
1x
'ocus
=(tの式)
ソ=(tの式)
tを消去
x, yの方程式(x, yの範囲に注主意)
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