分子は,初項 1,公差1の等差数列である。すなわち, もとの数列の項数と分子は等
基本 例題112 群数列
4
550
-の分数の数列について、
9
10
11
8
4
7
5
3'
6
4'4
4?5
123
3
[類東北学院大]
1'2'2, 3'
基本111
初項から第210項までの和を求めよ。
指針>分母が変わるところで 区切り を入れて,群数列 として考える。
分母:1|2,2| 3, 3, 3|4, 4, 4, 4 | 5,
1個 2個
第n群には,分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子:1|2,3|4, 5, 6|7, 8, 9, 10| 11,
3個
4個
しい。
まず,第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
解答
分母が等しいものを群として, 次のように区切って考える。
もとの数列の第k頂は分
子がkである。また,第。
群は分母がんで, k個の数
を含む。
4これから, 第n群の最後の
3|4
6|78 9
10|11
1|2
1|2'2|3'3' 3|44'4°4|5'
5
第1群から第n群までの項数は
ニパス+1)
1+2+3+… +n=
第210項が第n群に含まれるとすると
でさ
数の分子はn(n+1)
-(n-1)n<210名→n(n+1)
2
目番
0 独
半)
30
よって
(n-1)n<420<n(n+1)
の
(n-1)n は単調に増加し, 19·20=380, 20·21=420 であるから,
のを満たす自然数nは
また,第210項は分母が 20 である分数のうちで最後の数であ
る。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
n=20
1
*20-21=210
(1
n+1
-n=
は第n群の数の分子
の和→等差数列の和
2
ゆえに,求める和は
20 k2+1
1
20
20
こ+ 21
2 \k=1
1/20·21·41
+20
n(2a+(n-1)d}
k=1
k=1
6
=1445
を入れる
