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例題 176 極値をもつ条件
次の関数が極値をもつような定数aの値の範囲を求めよ。
x-a
(1) f(x)=
(ただし, a ≠±1)
2-1
(2) f(x) = (logx)2-2ax (ただし, a>0)
思考プロセス
定義に戻る f(x) が微分可能のとき
(f'(a) = 0 となるx=α が存在し,)
その前後でf'(x) の符号が変わる
2 (logx-ax)
(2) f'(x)=
x
の部分は定義域内で符号が一定なので
の部分に着目して考える。
符号が分からない
Action》 f(x) が極値をもつときは,f'(x)=0 の解の前後で符号が変わるとせよ
f(x) が極値をもつ
(1) f'(x)=x+2ax-1
(x² - 1)²
式を分ける
解 (1) この関数の定義域は x キ±1
f'(x)=
(x²-1)-(x-a). 2x
(x² − 1)²)
関数 f(x) が極値をもつための条件は、 f'(x)=0 が実
数解をもち、その実数解の前後でf(x) の符号が変わる
ことである。
よって, (x2-1)2>0 であるから, 2次方程式
...
=x2+2ax-1=0 ･･･ ① は少なくとも1つが±1でない,
異なる2つの実数解をもつ。
① の判別式をDとすると D>0
D
4
= α-1 より a²-1>0
(a+1)(a-1) > 0
の符号を考える。
x2+2ax-1
(x2-1)2
1
ゆえに
a<-1, 1 <a
ここで、①が2つの実数解 x = ±1 をもつとすると
1+2a-1=0 かつ -1-2a-1=0
であり,これを満たすα は存在しない。 (1)
したがって 求めるαの値の範囲は
(2) この関数の定義域は x>0
2(logx-ax)
-2a=
f'(x) = 2(logx)・
x
x
関数 f(x) が極値をもつための条件は,f'(x)=0 が実
数解をもち,その実数解の前後でf'(x) の符号が変わる
ことである。
よって, g(x)=logx-ax とおくと, g(x) = 0 は実数解
をもち,その実数解の前後で g(x) の符号が変わる。
a<-1, 1<a
分母=x≠0 より
x キ±1
(f'(x) の分母)>0 より,
f'(x) の分子の符号を考
える。
y=-x2+2ax-1
x
f'(x) は x = ±1 にお
いて存在しないから, ①
の解がx = ±1 のとき
f'(x) = 0 は解をもたな
①の2解がx = ±1
とならないことを確かめ
定義域においてf'(x)の
分母は正であるから, 分
