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Mathematics Senior High

青のところ なぜn≧2のときとするのか なぜ∑の上はnじゃなくてn-1なのか 赤のところ その後どう求めるのか 教えてください!

y=x 出 日本内 35 an+1= pant (nの1次式) 型の漸化式 =h, an+1=3an +4nによって定められる数列{an)の一般項を求めよ。 このような場合は, 00000 基本 34 p.464 基本例題 34 の漸化式anti=pan+αで, gが定数ではなく, nの1次式となっ ている。 を消去するために 階差数列の利用を考える。 漸化式のnをn+1とおき, an+2 についての関係式を作る。 これともとの漸化式 との差をとり,階差数列 {an+1 - an} についての漸化式を処理する。 また,検討のように, 等比数列の形に変形する方法もある。 CHART 漸化式an+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用 an+1=3an+4n ① とすると an+2=3an+1+4(n+1) ② ②①から ...... an+2-an+1=3(an+1-an)+4 an+1-a=bn とおくと これを変形すると また bn+1=36+4 bn+1+2=3(6+2) b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8 よって, 数列{bn+2}は初項 8, 公比3の等比数列で +2=83-1 すなわち bn=8・3"-1-2 y=x n≧2のとき n-1 an=a+ W" (8.3k-x-2)=1+ ①のnn+1 を代入す ると②になる。 467 差を作り, nを消去する。 {6}は{an}の階差数列。 α=3a+4から α=-2 a2=3a+4・1=7 (*) n≧2のとき 8(3-1-1) n-1 -2(n-1) an=1+26 k=1 3-1 =4・3"-1-2n-1 ...... ③ n=1のとき 4.30-2-1-1-1---8-8-8- α=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。 したがって an=4.3-1-2n-1 ①初項は特別扱い (*) を導いた後, An+1-an=8・3"-1-2 に ① を代入して am を求めてもよい。 1 漸化式と数列 {an- (an+β)} を等比数列とする解法 例題はan+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで, f(n)=an+βとして, an+1=3an+4nが, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)} の値を定める。 ④から an+1-{α(n+1)+B}=3{an- (an+B)} an+1=3an-2an+α-2β ***** Aの形に変形できるように α,β -2α=4, α-2β=0 点 ゆえに 功 これとan+1=3an+4n の右辺の係数を比較して よって α=-2,β=-1 ゆえに an-(-2n-1)=4.3"-1 f(n)=-2n-1 Aより、数列{an-(-2n-1)}は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから an=43-1-2n-1 したがって

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Mathematics Senior High

(2)を解く時どうしたらこの方法で解くって思いつきますか?なんで割り算したら答えが求めれるんですか?

出題されます。 含む単独に 1+√3i I= ,y=- 2 1-√31 (2) I= このとき、次の式の値を求めよ. 3+√3i 2 より2x-3=√3i する 3+√3i (7) x+y (1) xy (ウ)+y3 (エ) y すなわち, 両辺を平方して, 4x²-12x+12=0 x2-3x+3=0 を解に x=- 2 もつ2次方程式 IC + I y (2)m= 3+√3i 2+3+2 わり算をする 2 のとき,r-4x2+6x-2の値を求めよ. x²-3x+3)x4 -4x2+6x-2 -33 +3.2 3x3-7x2+6x 3x3-9x2+9x 2x²-3x-2 精講 2x²-6x+6 3x-8 (1) 2つの複素数a+bi, a-bi(a, bは実数)のことを,互いに共 役な複素数といいます。 このx,yは,まさに共役な複素数です。 共役な複素数2つは、その和も積も実数というメリットがあるの で, 対称式の値を求めるときにはまず和と積を用意します。 (2) このような汚い (?) 数字をそのまま式に代入してしまってはタイヘンで す. そこでこのx を解にもつ2次方程式を作り, わり算をするか, 次数を下 げるかのどちらかの手段で計算の負担を軽くします. (I・A8) 上のわり算より, 4-4x2+6x-2=(x²-3x+3)(x2+3x+2)+3x-8 このxに与えられた数値を代入すると, '-3x+3=0 となるので (与式) =3 -3(3+√31)-8-3√31-7 8= 2 2 (別解) (次数を下げる方法) 解答 2 基本対称式 -=1 4 基本対称式 (1)(x+y=1+3i+1-3-1 2 (イ)ry=1+√3i1-√3i_1-32 2 2 (ウ)+y=(x+y-3xy(x+y) =1-3・1・1=-2 I_x'+y^=(x+y)2-2.xy <対称式は基本対称式 で表せる (エ) y + =-1 x y xy xy <対称式 実はこのx,yはタダ者ではありません。 参考 x+y=1, ry=1より,x,yを解にもつ2次方程式は t-t+1=0 (21) 両辺に t+1 をかけると +1= 0 ∴.t=-1 よって,r'=y'=-1. すなわち,r=y=1 このように,あるnに対して, "=1となるは x=3x-3 だから 4-4x2+6x-2=(3x-3)2-4x2+6x-2 =5x2-12x+7=5(3-3)-12x+7 =3r-8-3(3+y3i)-8=3√gi-7 2 2 ポイント 他にも, x= --1±√3i 2 (x=1), x=±i (x^=1) などがよく入試に 演習問題 16 I. 共役な複素数の和と積は実数 Ⅱ. 複素数を整式に代入するときは、その複素数を にもつ2次方程式を作り, 整式をその2次式でわ て, その余りに代入する (1) 次の問いに答えよ. r=1+i liのとき

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