26 ベクトルの等式と三角形の面積比
基本例題
「三角形ABCと点Pがあり, 4PA +5PB + 3PC = 0 を満たしている。
(1) 点Pの位置を
面積比 △PBC: △PCA: APAB を求めよ。
(2)
CHART O
答
(1) 等式から
ゆえに
COLUTION
aPA+ 6PB+cPC の問題
nAB+mAC
変形して, AP= (2
m+n
(1) 点Aを始点とする位置ベクトルで考える。
(2) 三角形の面積比→ 等高なら底辺の比等底なら高さの比を利用する。
△ABCの面積をSとおいて,各三角形の面積をSで表す。
AP=5AB+3AC
12
_5AB+3AC
8
△PBC = -
-4AP+5(AB-AP)+3(AC-AP)=0
_ _2 × 5AB÷3AC
3
8
△PCA=
APAB=
ここで, AD=
と、点Dは線分BC を 3:5
3D 5
する点であり AP= 27/2AD よって APPD=2:1
とおく
に内分
1+2
2
ゆえに, 点Pは,線分 BC を 3:5 に内分する点をDとした
とき,線分 AD を 2:1に内分する点である。
(2) △ABCの面積をSとすると
2+1
2
2+1
AABC=}S,
△
2
PCA-ADC-1×35 ABC-1125.
△ABC=1S
B
p.370 基本事項1. 数学A 基本 65
2 3
-△ABD- ²×3 +54
TA
28
=
の形にする ···･・･
P
△PBC:△PCA:△PAB=1s:
A
00000
( 類 神戸薬大)
=4:5:3
62
375
◆分割 PB=B-OP
□は同じ点
よって
15AB+3AC において,
AB, AC の係数の和は
5+3=8
AP=A(SAB+3AC
8
の形に変形する。
点Dは問題文にある
ではないから、 解答の
うにDの位置を説明
る必要がある。
inf. △ABCと点Pに
aPA+6PB+cPC=
を満たす正の数α, b.
存在するとき、次のこ
知られている。
(1) 点Pは△ABC
にある。
(2) APBC: APCH
△PAB=a
( 解答編 PRACTIC
補足 参照。)
PRACTICE... 26③ 三角形ABCと点Pがあり, 2PA+6PB+5PC = 0 を満たし
DAPを求めよ。
