調和級数の発散することについての証明の問題です。 ⑵でやりたいことは、Snがm/2+1より大きいから、右辺発散する→左辺の級数も発散するみたいにしたいからなのは分かります。n>=2^nと書くのではなく、nを2^nにおきかえるとと書いたらだめなんですか？

重要 例題 (1) すべての自然数nに対して、 (2) 無限級数1+1/2/2 1 3 k=1 k 1 n 45 無限級数1/n が発散することの証明 2 n 1/12 172 +1が成り立つことを証明せよ。 77 000 + +......+ -+...... は発散することを証明せよ。 基本 34. 重要 44 はさみう 分の公比) (1)数学的帰納法によって証明する。 (2) 数列 列{1} は0に収束するから、p.63 基本例題 34のように、p.61 基本事項2② を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 2 とすると = ここで,m→∞のときn→∞となる。 2章 無限級数 [1] n=1のとき ① とする。 21 k=1k 数学II) =0 Crab とする。 k=1 (1)= +1 ...... 解答 的帰納法を利 も考えられる カード の計算 = 1+1/28-1/3+1 よって、 ① は成り立つ。 [2]n=m(m は自然数) のとき,①が成り立つと仮定すると1/21 このとき 2m+1 2m+1 1 + k=1 k k=1 k k=2+1k -xn -x ≥ -nx" (+1)+2+1+2+2 1 ++ 2m+1 x)S 1 m +1+ 1 + x" (1-x) 2 2m+1 2+2 +::::+ 2m+2m -x m 1 m+1 <2m+1=2".2=2+2" 1 ・+1+ •2m +1 2 2m+1 2 2m+k 2m+2m 2m+1 n+1) 2 ="+nx+1 (2)=21/2とおく。2" とすると, (1) から k →∞のときn→∞で ここで,m→ m 2 よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。 (k=1, 2,..., 2"-1) [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 2m 1 m ・+1 k=1 k 2 →∞ lim +1=8 limSn=∞ 118 里 き、 したがっては発散する。 an≦bn liman=∞⇒limbn=∞ (p.343②) →∞ 8122 n=1n なら amil 無限級数1/n”の収束・発散について 数列{a} が 0 に収束しなければ,無限級数 2α7 は発散するが (p.61 基本事項2②), こ 検討 80 n=1 の逆は成立しない。 上の (2) においてlim=0であることから,このことが確認できる。 U 00+u n なお,2は>1のとき収束, p≦1のとき発散することが知られている。 (S) n=1 n' 二大] 練習 80 ④ 45 上の例題の結果を用いて,無限級数 は発散することを示せ。 p.81 EX 32 n=1 31\

はさみうちのときに これやったらテストではじかれたんすけど、何がダメなんすか？

D Cus = ws # 31 x (左)→○ (x-70) はさみうちゃ原理が 与式 (右辺)→(x→0 5部 1.0へ有限確度 だからダメなんで?? lin →0

（2）はこのようなやり方でもいいんでしょうか？教えてください。お願いします。

基本 例題 22 数列の極限 (5) ... はさみうちの原理 2 0000 nはn≧3の整数とする。 mi 1 3 (1) 不等式 2"> が成り立つことを,二項定理を用いて示せ。 n 2 (2) lim の値を求めよ。 指針 n→∞ 27 (1) 2"=(1+1)" とみて, 二項定理を用いる。 (a+b)"=a"+nCam-16+nCza-262++nCn1ab1+60 (2) 直接は求めにくいから, 前ページの基本例題 21 同様, はさみうちの原理 いる。 (1) で示した不等式も利用。 なお, はさみうちの原理を利用する解答の書 について,次ページの注意も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち (1) n≧3のとき 解答 2"=(1+1)"=1+nC1+"C2+....+nCm-1+1 ≧1+n+1/21n(n-1)+1/3n(n-1)(n-2) 6 n=1,2の場合 は成り立つ。 2"≧1+nCi+nC 号成立は n = 5 1 = -n³+ _n+1> 3 ならば き。) 6 6 6 l 1 よって 2"> -n³ 6 SI=A) (2)(1) の結果から 2n n² よって 0< V 2n 6| 6|n 06となる。 n³ 3 各辺の逆数をと I+ A <各辺に n²(>0 6 lim-=0であるから n² 2 る。い lim =0 non B no 2n I はさみうちの >> Jet 近づく」とい はさみうちの原理と二項定理

青線の考え方をするのはなぜですか？そのまま∑計算をすると複雑になるからでしょうか？

(2) x x 以上によって, x > 0 において - <log- 1+a+x 1+ a " log (a) = log (1+ k=1 k k k 1+a 2(1+a), n1+α)),(1)の結果について x= k x 1+a k とおけば、 n k +(21+)) < log(1++))) < k n k≤ n n² (1+a) だから、 (1-241+)) (12) (1-2w1+α)) k k < n²(1+a) k したがってから、第1-2wi1+a) <10g(1+1+α) ma k n² (1+a) " k n Σ 1 - k=1 m²(1+a) 2n²(1+ a)) < log (1+ k " k k=1 n2(1+a) < ② k=1 m² (1+a) 31 k n(n+1) n+1 == = (3 k=1 n² (1+a) 2n2(1+a) 2n(1+a) n k n 1 - n+1 n+1 = = n(1+a) 2n2(1+a). 2n(1+a) 4n2(1+a)² ② ③ ④を適用すれば, n+1 2n(1+a) n+1 4n2(1+a)² <log I(a) < n+1 2n(1+a) ⑤ n+1 lim n+1 1 1 1 = - lim = 4n2(1+a)2 2(1+a) 11-00 4n(1+a)2 2(1+a) 1 したがって, はさみうちの原理によって, lim logIn (a) 11-00 = 2(1+a)

[1]の場合分けについて質問です。 なぜcosx^2-cosx/x^2-xの極限を求めているのですか？ 赤のところの式が成り立つのは理解出来たのですが、求めたい極限はcosx-cosx^2/x-x^2のものなので、 -(cosx^2-cosx/x^2-x)かなと思ったのです... Read More

58 重要 例題 1 平均値の定理を利用した極限 平均値の定理を利用して, 極限値 lim x→0 COS x -COS x2 x-x2 を求めよ。 基本的 よって、 指針 f(x) =cosxと考えたとき,分子は差f(x)-f(x2)の形になっている。 ページの基本例題 90 同様, 差f(b)-f(a) には 平均値の定理の利用 2 の方針で進める。それには、平均値の定理により, xx2 COS x-COS x2 を微分係数の [f'(c)] に表して極限値を求める。 なお、平均値の定理を適用する区間は x+0のときで異なるから注意が必要である。 f(x) =cosx とすると, f(x) はすべての実数xについて微平均値の定理が適用 解答 分可能であり f'(x)=-sinx [1] x < 0 のとき (p)-(d) る条件を述べている。 x<x2 であるから,区間[x, x2] において,平均値の定x<0<x2 gol=(x) できる時間 x2-x=-sin01, _x<0₁<x²/ J=V[d f(b)-f(a) b-a f'(c) a<c<b 参考事項 f(x) limg(x) x-a が 00 理化などを学ん かいなものもある ロピタルの定 微分可能で, li これは,平均値 (コーシーの平均 関数f(x), g(x 理を用いると COS x2 COS x を満たす実数 f(B)-f (証明) を満たす 01 が存在する。 g(B)-g limx=0, limx2=0であるから lim01=0 はさみうちの原理。 x110 x-0 x-0 このとき,F(x F(c COS x2 COS x よって lim x-0 x-x x1-0 = lim (-sin 0₁) >> が成り立つから =-sin0=0 [2] x>0のとき, x → + 0 であるから, 0<x<1として F'(c)=f'(c)- k= x → +0 であるから, い このとき,x2xであるから, 区間 [x2, x]において, gol 平均値の定理を用いると DI x=0 の近くで考える。 証明 コーシー [f(x), g(x) ( はされ COS x-COS2 x-x2 -sin02, x²<02<xld を満たす 02 が存在する。 f(b)-f(a)=f(c), b-a (0) x+0 limx2=0, lim x=0であるから lim02=0 x+0 よって lim XITO COS x-COS x2 x-x2 x+0 = lim (-sin02) x+0 =-sin0=0 となるcが有 Ca<c<b よって はさみうちの原理。 得られる場合は li ロピタルの にも成り立つ 以上から lim COSx-COSx2=((*)の x→0 x-x2 (*)左側極限と右側極限 が0で 致したから ① limf

数3の極限の問題です。 (1)の問題なのですが、解説の赤丸で囲んでる部分が分かりません。 多分、問題の1/6n^3を変形してるとは思うのですが、どうしてこのような式になるのかが分かりません。 その部分を教えて頂きたいです、よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

44 基本 例題 22 数列の極限(5) nはn≧3の整数とする。 (1) 不等式2">1が成り立つことを、二項定理を用いて示せ。 2 (2) lim の値を求めよ。 指針 1-8027 (1) 2"=(1+1)” とみて、 二項定理を用いる (a+b)"=a"+"Cia1btnC2a262++nCn-1ab”-1 (2) 直接は求めにくいから、前ページの基本例題 21同様, はさみうち いる。 (1) で示した不等式も利用。なお、はさみうちの原理を利用する について,次ページの注意も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち (1) n≧3のとき 解答 |n=1,2 は成り立 2”=(1+1)=1+nC₁ + n C₂+...+nCn−1+1 ≧1tnt/n(n-1)+/n(n-1)(n-2) n³+ _n+1> 1 5 1 = -23 6 6 mil 6 よって2>/1/ SE nのとき 6 ある 2≥1+ (等号成 き。)

電池が2つ以上含まれる回路の問題で、よくキルヒホッフの第二法則の使い方が分からなくなります。その例がこの問題の⑶です。 電池が1つだけの問題は電流の向きを自分で決めたら解けるのに、こういう問題だと自分で決めた向きのせいで答えが少し違ってしまいます。 何故このようなことになる... Read More

(1)X→Yの方向に電流を流せばよいので、電池の正極はa側 Pの力のつり合いより Vo mg = X Bl R1 (2)Yの方が電位が高い Vo= mg Ri Bl mg = BV Pの力のつり合いより mg =IBl オームの法則より、Ul=RI uz Bl I+2 I ①②からⅠを消去してひに mgR (Ber = (3) (ア) ug-IBX より In I=mg. Bl キルヒホッフ第2法則より V=R2+R2(I+i) V-RZI = Ri+R2 よってR2を流れる電流は Iti = Vi+RI V.Bl+mgR [A] R+R2 Bl(Ri+R2)

どうしたら青線の部分が求められるのかが分かりません。教えてください🙏🏼🙇🏻‍♀️

00 <6,4m+1=3+√3 + α (n = 1,2,3) なる数列{a}に対して、lim, を考える。 →∞ 6- -a-1 n≧2のとき、6=3√3+am-1 <[空欄1] 3+√3+ an-1 この関係を繰り返し用いると、 0 < 6-0 < [空欄2] 各辺のn→∞における極限を求めれば、 はさみうちの原理により lim = [空欄3] を得る。 →∞ 解説 [狙い] はさみうちの原理について理解しているか。 [方針] 数列{a}{b,}{c,}について、 十分大きなんに対してan≦cm≦b,かつ lima = limb, = a(収束)ならば、 limc=αが成り立つ。 00 →00 00 などを用いて上手に変形して、 はさみうちの原理を使う。 [答案] 0<am <6,am+1=3+√3+a (n=1,2,3)を用いて、 6-a n2のとき 6-43-√3+a1= < (6-a-1) 3+3+0 3+v3 1 この関係を繰り返し用いると、 0 < 6-4,< (3+√3 (6-a₁) 各辺のn→∞における極限を求めれば、 はさみうちの原理により lima, =6を得る。 00

（3）の下線部がいえる意味がわからないです、

3ho ( n=0,1,2. ...... に対し an= = √(1 − x²) dx dx とおく。 (1) a1 を計算すると1= (サ) である。 また, 部分積分を用いると2以上の自然数n に対し an= (シ) an-2 となることがわかる。 (2) anan-1 をnを用いて表すと anan1 = (ス) (3) 数列{az}が1に収束することを証明しなさい。 an-1 (4) 以上の結果を用いると, limna n→∞ = (n=1,2,3,.....) である。 (セ) であることがわかる。

（3）について質問です。 この不等式はどの問いの何を使えば出来上がるのか教えていただきたいです🙇‍♂️

重要 例題 30 漸化式と極限 (5) ・・・ はさみうちの原理 平 づ <a<3を証明せよ。 26 (3) 数列{an} の極限値を求めよ。 00000 数列{an}が0 <a<3, an+1=1+1+αn (n=1, 2, 3, ......) を満たすとき [類 神戸大] /13-1/12 (3-0)を証明せよ。 /p.34 基本事項 3. 基本 21 指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す 数学的帰納法の利用。 (2) (1) の結果, すなわち an >0, 3-ax>0であることを利用。 (3) 漸化式を変形して,一般項 αをnの式で表すのは難しい。 そこで,(2)で示した 不等式を利用し, はさみうちの原理を使って数列{3-αn の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて pn San≦gn のとき limplimgn=αならば liman=a 710 818 2章 ③数列の極限 なお, p.54, 55 の補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち (1) 0<an<3 解答 ① とする。 811 Famil [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<a<3 =k+1のときを考えると,0<a<3であるから ak+1=1+√1+ak >2> 0 +1+3=3 したがって よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 0<ak+1/30 数学的帰納法による。 <0<a<3 <<ak から√1+α > 1 <a<3から1+αk <2 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 < (2)3-αn+1=2-√1+an 3-an (3-an) 2+√1+an (3)(1),(2) から, n≧2のとき liml n10 0<3-an()(3-as) (1/2) (3-a1)=0であるか 3 lim(3-an)=0 liman=3 したがって 200 <3-a>0であり,an>0 から 2+√1+α >3 n≧2 のとき,(2)から 3-an< (3-an-1) (12/2)(3 an- <(1/2)(3-4) モン 練習 α=2, n≧2のときα an-1 1-12 を満たす数列{an) について 30