〇が着いている最後のnがnの二乗にならないのは何故ですか

よって an+1=jant 1/30 ゆえに an+1=a+2 これを変形して a+-1=(-1) よって、 数列{a} の階差数列の第n項は 2n また a₁-1=-1=- 2 問題で使う したがって, n≧2のとき 3 3 n-1 ゆえに、数列{an - 1} は初項 2 a=a₁+2k=2+2(n k=1 9 3 公比 1/3の等 =n2n+2 ......① 比数列で a-1=- 2/2\n-1 33 a1=2であるから, ①はn=1のとき 立つ。 2n したがって an=- よって +1 an=n2_n+2 3 255 点Pがn+1秒後に頂点に 253 正方形 P" の1辺 の長さをαとし, 図 のように C, C+1, 角度 C+ 1 Dをとると a, P. an+1 n で割 CmDn=an-anti DnCn+1=an+1) P+1 n秒後に頂点 0, B, C のいずれか 1秒後に頂点Aに移動する場合で 点Pが秒後に頂点 O, B, C る確率は Pn+1=- ---P 1-Pn よって こうやって △ABC C D C であるから 1 これを変形して Pn+1- ABC,D=BC: D, C+1 すなわち 4:(anan+1)=6:4+1 また - 4 3 よって よって、 数列 第 n また, 4:(4-0)=6:α」から a1=5 i=1/2 ゆえに、数列 (a)は初項 12. 公比23 の等比数 の等比数列で-1 したがって,=2202 12/3] [1 = したがって 160 25 L

数Bの数列で、なぜこの式は初項2，公比2になるのですか？解説よろしくお願いします🙇‍♀️

準会 α1=1, 例題次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 11 an+1=an+2" 解答 条件より an+1-an=2n 数列 {an} の階差数列の一般項が2" であるから, [MD [I] n-1 n≧2のとき an=a1+2k 72kは初項 2,公比 2. k=1 k=1 2(2n-1-1) D =1+ 項数n-1の等比数列の 和である。 2-1 よって an=2"-1 初項は α = 1 なので,この式は n=1のときにも成り立つ。 したがって,一般項は an=2"-1

90の⑴なんで左辺1になるんですか？

0 +2-6an+1+5a"= +2an+1=5 (@z+1-an) az_a1=(2a+b1) -a1=a+b1=8 5/ an+2 20円+1=3a,+4(an+1-20m) この漸化式を利用して, am を求めてもよい。 (2) an+2+50円+1 +60=0を変形すると ゆえに よって an+2+2ax+1=-3(an+1+20m) ① また an+2+3an+1=-2(an+1+30m) ...... ② ① から, 数列 {an+1+20m)は初項a2+2a1=1, 公比-3の等比数列で an+1+2a„= (-3)"-1 ③ ②から、数列{n+1+30円)は初項a2+3ay=1, 公比2の等比数列で @n+1+30„= (-2)"-1 ...... ④ ③から an=(-2)"-1-(-3)"-1 an+2-6an+1+90=0を変形すると ゆえに、数列{an+1-2)は初項 8 公比5の等 比数列で an+1-a=85"-1 数列{an}の階差数列の第n項が 8.5"-1であるか ら、n≧2のとき -1 an=a+28.5-1=2+ よって a=2.5"-1 8(5"-1-1) 5-1 ..... 3 ③でn=1 とするとα=2が得られるから は n=1のときにも成り立つ。 bn=an+1-2an =2.5"-2.2.5"-1=6.5-1 (3) また an+2-3am+1=3 (am+1-3am) 数列{n+1-30m}は初項a2-3a1=1 公比3の 等比数列で an+1-30=3-1 + 88 90 (1) 1+10 + 102 +... + 10″ - 1 =1/08 (101) 両辺を 3 +1で割ると an+1 an 1 3*+1 3" 9 とする。 an 数列 3n は初項 3 ar 1 1 公差 の等差数列 [1] n=1のとき 3 , 左辺 = 1, = (10−1)=1 で よって an 1 3=+ +(n-1)/1=(n+2) 3" an=(n+2)・3”-2 (1) a2=2a1+b1 = 10, b2=3a1+4b1=30, 43=2a2+b2=50, b3=3a2+462=150 n+1=24n+6n ① +1=3a+46m ②から 1-9 an+1+bn+1=5(a+b) a+b1=8 二、数列{an+6m}は初項 8,公比5の等比 ③ 34+1-bn+1=34-bn T an+6=8.5"-1 -② から 3a-b„=3a-b1=0 3a,-b=0 ○から 4a,-8.5"-1 よって, n=1のとき, ① は成り立つ。 [2] n=kのとき①が成り立つ, すなわち 1 + 10 + 10° + . +10k-1 = 11/8(10^-1) と い と仮定する。 n=k+1 のとき, ① の左辺につ いて考えると,②から § 1+10+102+. = (10-1)+10* +10k-1 + 10k = (10-1+9-10) = (10k+1−1) よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は 成り立つ。 (2) 13+25 +3.7 + ・・・・・ +m(2n+1) a=2.5"-1 ④から 6=34=6.5-1 =oon(n+1)(4n+5) ① とする。 [1] n=1のとき の解法でも {a}{bm)の一般項を求める 左辺 = 1.33 8 きる。 右辺 = 12・1・(1+1)-(4-1+5)=3

蛍光ペン引いてる所の説明がほんとに何を言いたいのかわかりません どういうことですか？ これが分からないのでこれ以降何をしているのかわかりません

IC 漸化式の応用 Link 応用 例題 イメージ 6 5 解 平面上に2本の直線があって、それらのどの2本も平行でなく, また,どの3本も1点で交わらないとする。 これらη本の直 線が,平面を an個の部分に分けるとき, annの式で表せ。 1本の直線で, 平面は2つの部分に分けられるからα=2 次に, n本の直線により, 平面が an個の部分に分けられていると き (n+1)本目の直線 l を引くと, lは既にある n本の直線とn個 3 10 の点で交わり, これらの交点に よって, l は (n-1) 個の線分と2 個の半直線に分けられる。 4 2 15 練習 第1章 数列 これらの線分と半直線は,それぞれ, それが含まれる各平面 の部分を2つに分けるから, 直線 l を引くことにより,平面 の部分が (n+1) 個増加する。 よって an+1=an+(n+1) すなわち an+1-an=n+1 数列 {an} の階差数列の第n項がn+1であるから, n-1 n≧2のとき an=a+(k+1)=2+1/2(n-1)n+(n-1) an よって == 1 -(n2+n+2) 2 ① ① で n=1 とすると α = 2 が得られるから, 1 は n=1のと きにも成り立つ。 したがって, 求める式は an = (n²+n+2) 2 n本の直線によって, 交点はいくつできるか。

（2）の青のところの出し方が分かりません。それと3枚目の写真は私が考えたのなんですけど、このやり方は合ってるのかも教えて欲しいです。お願いします😿

数列{an}を 一度に1段上る、または a1=3, で定める. + an+1=3an+2n+3 (n=1,2,3, …) d (1) すべての正の整数nに対して,条は非 an+1+α(n+1)+B=3(an+an+B) が成り立つような定数 α, βの組を求めよ. (2) 一般項an を求めよ.

(1)が分かりません。 ①n≧2のときって、法則性が分からない階差数列の時に使うんじゃないんですか？ ②sn−1って何処から来たんですか？

544 基本 例題 107 数列の和と一般項,部分数列 0000 初項から第n項までの和 SnがSn=2n-nとなる数列{an}について (2) 和 a1+a3+as+....+azn-1 を求めよ。 (1)一般項 an を求めよ。 538 基本事項 4 基本 n≧2のとき 指針▷ (1) 初項から第n項までの和 Sn と一般項 α の関係は ....+an-1+an Sm=artazt.. .....+an-1 - Sn-1=artaz+.. an ゆえに Sn-Sn-1= an=Sh n=1のとき a1=S1 解答 数列の和 Sn がnの式で表された数列については,この公式を利用して一般項 まず一般項(第ん項) をんの式で表す 第ん項 る。 (2) 数列の和→ 第1項,第2項,第3項, a1, a3, a5, a2k-1 であるから,an に n=2k-1を代入して第ん項の式を求める。 なお,数列 a1, A3, 45, … 2-1 のように,数列{az}からいくつかの項を できる数列を, {a}の部分数列という。 (1) ≧2のとき 121112 an=S-S-1= (2n²-n){2(n-1)-(n-1)} =4n-3 ① また a=S=2.12-1=1 ここで, ① において n=1 とすると α=4・1-3=1 よって, n=1のときにも①は成り立つ。 したがって an=4n-3 (2) (1)より, a2k」=4(2k-1)-3=8k-7であるから -242-1=2(8k-7) a+α+α+....+α2n-1=2a2k-1=2(8k-7) k=1 k=1 =8/12n(n+1)-7n=n(4n-3) Sn=2n²-n Sn-1-2(n-1) 特別 ann≧1 される。 a2k-1 はan= てぃに2k 12k, 21の

この2＋､､､からの計算の仕方を教えてください💦 どうやったらこの答えになるんですか？

78 (1) 条件から an+1-an=5" 32, 数列{a} の階差数列の一般項が 5” であるから, n≧2のとき - よって n-1 an=a₁+5=2+ k=1 5 +3 5(5"-1-1) 5-1 激列であるか an = 54 € + 1.1-2. (1) ST C

漸化式で I枚目のような最後が定数の式は普通に終われるのに ニ枚目のように最後がnの一次式の式は階差数列で求めないといけないのはなぜですか？ 赤線引いているところで終わりにならないのはなぜですか？

464 基本 例題 34 αnt=pan+g型の漸化式 00000 P.462 基本事項 2 重要 38, 基本48,51 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 a1=6, an+1=4an-3 同じ文字におきかえる =1,g≠0) の形の漸化式から一般項を求めるには, p.462 基本事項 _α-3を満たすα に対して,次のように変形 an+1=40-3 した特性方程式を利用する方法が有効である。 an+1-α=4(an-α) - - 等比数列の形。 -L α=4α-3 解答 an は??? する。 an+1-α=4(a-a) CHART 漸化式 α+1=pan+g 特性方程式 α=pu+gの利用 an+1=4an-3 を変形すると an-4(an-1) -1=6 とおくと bn+1=46n, b1=a-16-1=5 よって,数列{bm}は初項 5,公比4の等比数列である 1α=4α-3の解は なお、この特性方 を解く過程は、解 かなくてよい。 91-12 lis から 6n=5.4-1 ゆえに A2-1-2 別解 an+1=4an-3 a3-10b3 おくと an+2=4an+1-3 ...... an=bn+1=5.4"- '+1 ①でnの代わりに n+1と ② anan+1慣れてきたら、 まま考える。 ② ① から an+2-an+1=4(An+1-an) 定数部分(「一 数列 {az} の階差数列を {bm} とすると bn+1=4bn, bi=az-a1= (4・6-3)-6=15 a2=4a1-3 よって, 数列{6} は初項 15, 公比4の等比数列である から bn=15.4-1 ゆえに,n≧2のとき n-1 (*) An=a1+15.4-1 = 6+ k=1 =5.4-1+1 n=1のとき 5.4°+1=6 15(4"-1-1) 4-1 ③ n≧2 のとき an=a+2 k= a =6であるから,③はn=1のときも成り立つ。 したがって an=5.4" 1+1 初頭は 参考 (*)で数列{bm} の一般項を求めた後は,次のようにするとこの計算をしな (*)から Anti-a=15.4"-1 ①をする (1g-3)-=1

数列の問題です （2）のマーカーのところの変化が分かりません

79 (重要) 40 次の条件によって定められる数列 頁を求め (2) では 408 重要 例題 40 f(n) an=bn とおく漸化式 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 (1)=1, an+1 an (2) a1=2, na,+1=(n+1)an+1 n n+1 ●基本 21,29 CHART & THINKING an+1,αの係数がnの式の問題では, an+1, an の係数がそれぞれ f(n+1), f(n) となる ように式変形をする。 (1) 与えられた漸化式は, an の係数が 1 + の係数が 1 n+1' n となっている。両辺に n(n+1) を掛けることで an+1 22 an n+1 (n+1)an+1=nan STEP a₁ = について,この px2+x+r= 隣接3項間の an と変形できる。 この変形を基 an の係数がn, an+1 の係数が (n+1) となる。 (2)(1) と同じように, f(n+1)an+1=f(n)an+(nの式) の形にするには,両辺をどのよう な式で割るとよいかを考えてみよう。 脱 an+2d して, よって 特性方程式 [1] 異なる 解答 a (1) 両辺に n(n+1) を掛けると (n+1)an+1=nan a bn=nan とおくと bn+1=bn ←bn+1=(n+1)an+1 また, b1=1.α=1から6m=bn-1=.... したがって bn=1 ①より、 b1=1 a bn 1 よって an n n ②より (2) 両辺を n(n+1) で割ると an+1 an 1 + a n+1 n n(n+1) ←n(n+1)≠0 1 an bn とおくと bn+1=bn+ n(n+1) n 1 1 ゆえに bn+1-bn = n n+1 また b=q=2 PRACTICE 40° 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 ただし, (2) an を利用して求めよ。 bn n(n+1) よって, n≧2 のとき n bn=b₁+ +(-1)-2+(1-1)-3-1 k=1 k b=2であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。 ゆえに bn=3- m≧1) n よって an=nbn=3n-1 ←数列{bn+1-bm} は, 数 列{bm} の階差数列。 α≠βであ [2] 解 a=βであ 数列{an+ a0 a ④③から ← bn+1= an+1 11 n+1 1 1 1 n(n+1) n n+1 弘前大] よって、

最初の恒等式ってなんですか？ どこから出てきたんですか？

問題 4-3 2-1n(n+1)(2n+1) 難 を証明せよ。 ただし、21- k-1/2n(n+1)は既知としてよい。 N. (九大・他)