数II　剰余の定理です なぜ2次式で割ると 余りが1次式または定数になるのかが分かりません 教えていただけると嬉しいです🙇‍♀️

90 の 基本例題 53 剰余の定理の利用 (1) 多項式 P(x) を x-2で割ると3余り, x+3で割ると -7余る。 P(x) を 基本 52, C 重要 57 (x-2)(x+3) で割ったときの余りを求めよ。 [中央大] CHART & SOLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+ R を利用 (余りR の次数) < (割る式の次数)が決め手 one 2 THAM 2 割る式 (x-2)(x+3) は2次式であるから, 求める余りは1次式または定数である。 したが って、余りはax + b (a, b は定数) とおける。 P(x) 商Q(x), (x-2)(x+3), ax+bを 用いて表し, 剰余の定理により α, bの連立方程式を作る。

赤字の部分なぜ二次式で置いてるんですか??

したがって 求める余りは [inf.] [C] の代わりに -(x-4)+6=-x+10 P(x)=(x-2)(x-4)Qz(x)+c(x-2)+8 として, P(4)=6 からc を求めてもよい。 PR 多項式 P(x) をx-2で割ると余りは13, (x+1)(x+2) で割ると余りは ③54 10x-3になる。この P(x)(x+1)(x-2)(x+2), (x-2)(x+2) で割った余りをそれぞれ求めよ。 〔類 南山大】 部分は必ず明記する。 P(x) を (x+1)(x-2)(x+2) で割った商をQ(x), 余りを ax2+bx+cとすると, 次の等式が成り立つ。 P(x)=(x+1)(x-2)(x+2)Qi(x)+ax²+bx+c P(x) をx-2で割った余りが13であるからJ P(2) =13 また, P(x) を (x+1)(x+2) でった (22(x) とすると、余 りが-10x-3であるから ←cx+d=c(x-2)+8 P(x)=(x+1)(x+2)Qz(x) 10x-3 ① A=BQ+R ←A=BQ+R 3

最後なんで2(2-√3)+1と綺麗にまとまったんですか？一個上の式からなぜこうなったのか理解できないので教えて欲しいです。数IIです

例題2 割り算と式の値 x=2-√3のとき, x-2x²-5x+3の値を求めよ。 ・・・・・・・・ 【ガイド】 x=2-√3 をx-2=-√3と変形し、両辺を2乗して整理すると 2x²5x+3 -4x+1で割り、余りに注目する。 解答 x=2-√3より x2-4x+1=0 整でB x-2=-√3 両辺を2乗すると(x-2)=(-√3)2 この式を整理すると x²-4x+1=0 2x25x+3を4x+1で割ると 商はx+2,余りは2x+1であるから x-2x²-5x+3=(x-4x+1)(x+2)+2x+1 A=BQ+R x=2-√3のとき, x²-4x+1=0であるから 求める式の値は x³ - 2x² − 5x + 3 = (x² - 4x + 1)(x + 2) + 2x + 1) = ²3 (1} \t =2(2-√3)+1=5-2√3 →何はこうなった x+2 x2-4x+1)x3-2x²-5x+3 x3-4x2+x 2x²-6x+3 2x²-8x+2 2x+1

赤丸で囲ったX＋3とX＋4では次の段でなぜ、X＋1がでてくるのでしょうか？

基本例題 13 (分子の次数) < (分母の次数)にして計算 BORTEL (2) 次の計算をせよ。 (1) x2+4x+5 x2+5x+6 x+3 x+4 Zapy (xXx(x+1)+222) 指針そのまま通分して計算すると、分子の次数が高くなって面倒である。 (1) 解答 x² + 4x + 5_ x² + 5x + 6 ABLAR x+3 x+4 ((2) 1=(x+1+x+3)-(x+1+14) CHART 分数式の取り扱い (分子の次数) (分母の次数)の形に 1 1932 1933 1 (x+3)(x+1)+2 (x+4)(x+1)+2 x+3 x+4 = 2 x+3 (分子A の次数) (分母Bの次数) である分数式は, AをBで割ったときの商 R B Rを用いて, =Q+ 計算がらくになる。 の形に変形すると, 分子の次数が分母の次数より低くなり、 A=BQ+R の両辺をBで割った式 + = x+4 x+4 x+5 x-5 x+2 x+1 x-1 2{(x+4)-(x+3)} (x+3)(x+4) x+2 1 = ² ( x + 2 = x - 2) (x+2)(x-2) - x+ + x-4 x-2 142)-(1+241)-(1-141)+(1-122) 2 x-2 4 + x+1 x-1 2-1²-2₁)-4 (3 2{(x-2)-(x+2)}_4{(x-1)-(x+1)} x+1 x-1 x+4 x+2 = (x+2)(x-2)+(x+1)(x-1) 8{-(x+1)(x-1)+(x+2)(x-2)} (x+2)(x-2)(x+1)(x-1) (x+1)(x-1) 24 (x+2)(x-2)(x+1)(x-1) x-5 *+5=*=5+*=1/ x-1 -XXXX \\/x+3/ x+5 2 (x+3)(x+4) 0000 x-4 x-2 x+1 x+1 x+3)x2+4x+5 x+4) x2+5x+6 x2+3x x2+4x 基本 11 (分子) と余り なぜこうなりの人 次数がともに1なので x+4=(x+2)+2 =8.(-3) x+6 x+4 2 x+5=(x+1)+4 x-5=(x-1)-4 x-4=(x-2)-2 と考える方がらく。 組み合わせを工夫する。 =8{-(x²-1)+(x²-4)} 29

マークしたところがわかりません。なぜ復号同順になるのですか？

例題18 割り算と恒等式 多項式x+x+bが多項式x+ax+1 で割り切れるような定数a, b の値を求めよ. ( 津田塾大 ) 考え方 解答 割り算の基本公式 A=BQ+R は、恒等式であることを利用する. x+x+bの最高次の項に着目して、商をx+cx+d とおくと計算が簡単になる. 商をx²+cx+d とおくと, 条件より, 最高次の項に着目し x+x²+b=(x2+ax+1)(x2+cx+d) ...... ① 1 て,商を x'+cx+d とおく. A=BQ + R で 割り切れるから, R=0 ①の右辺を整理すると、 x+(a+c)x+(ac+d+1)x²+(ad+c)x+d したがって, ① は, x+x²+b =x^+(a+c)x+(ac + d +1)x2+(ad + c)x+d これはxについての恒等式なので,両辺の係数を比較す ると, a+c=0 ...... ② ac+d+1=1 ......③ ad+c=0 ・・・・・・④ 4 d=b .....5 ② より, ④ に代入すると, c=-a ad-a=0 より a (d-1)=0 より, a = 0 または d=1 (i) a=0 のとき,②より. ③.⑤より. (ii) d=1のとき ②,③'より, また、⑤より よって, (i), (ii) より 求める値は, c=0 b=d=0y ③より ac=-1 ... *** E- (a,b)=(0.0). (1,1),(-1,1) ·∙3' a=±1,c=+1 (複号同順) ー= a.(−a)= -1 より, b=d=1 パー a²=1 係数比較法 point 商を文字でおく

この問題の解説をお願いします🙇‍♀️ 因みに答えは a=3 商:x+2 　 です！

2.xの多項式A=x3+ax2+2x+1をx2+x−2で割ると余りが2x+5 と なるように,定数aの値を定めよ。 また, そのときの商を求めよ。

（2）の解説のところで なぜX＝1を代入するという発想になるんですか？ そして、NはAとBとは等しいとはわかりましたが、2以上というのはどうわかるのですか？

92 重要例題 58 剰余の定理の利用 (3) (1) f(x)=x-ax + b が (x-1)2で割り切れるとき、 定数 α, bの値を求 めよ。 [学習院大 を果者2以上の数とするとき、ポート (x-1)で割ったときの余り CHARTI なんで この想に?! OLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 1 次数に注目 (1)(x-1)2で割り切れる⇒f(x)=(x-1)'Q ⇒ f(x)がx-1で割り切れ, 更にその商がx-1で割り切れる。 (2) 次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし, α°=1, 6°= 1 である。 X = ² + R²= 1² - Ch-placa² 22 la-b²=(a-b)(a-1+α"-26+α”-362+.... +αb"-2 +6n-1) ②余りには剰余の定理」 m² 3 X al p co b ² + ab + PZ 解答 (1) f(x) は x-1 で割り切れるから よって 1-α+6=0 ゆえに したがって f(x)=x-ax+α-1 両辺に x=1 を代入すると 0=a+b g(1)=0 ゆえに a=3 よって f(1) = 0 =(x-1)(x²+x+1-a) - Jef g(x)=x2+x+1 -α とすると 3-a=0 よって これを①に代入して b=2+ (2) x-1を2次式(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余り をax+b とすると、次の等式が成り立つ。 x-1=(x-1)'Q(x)+ax+b1 b=a-1 ゆえに x-1=(x-1)2Q(x)+ab b=-a afx-15 -a 1 ①1 (x) 11 -q+1 =(x-1){(x-1)Q(x)+α} 辺にx=1 を代入すると a=n よって ゆえに したがって 求める余りは nx-n ...... x-1=(x-1)(x-1+xn-2+......+x+1) であるから ⑥x-1+x^2+..+x+1=(x-1)Q(x)+α_ a 1+1+...... +1+1=a b=-a=-n 10 a-1 1 -a+1 0 38-(5)9 条件から,g(x)もx-1 で割り切れる。 割り算の基本公式 A=BQ+R (x-1)²Q(x)+a(x−1) 1482484,39 10 2. dx) x- ← 1=x であるから、左辺 の項数はxからx-1ま での n個 (0.0多購式((tx) 逆賊 P(x) x+3 C 0P(2 / 0921-7 h=α= f PRACTICE・・・･ 58 ④ (1)a,bは定数で,xについての整式x+ax+6は(x+1)^ で割り切れるとする。 このとき, a, bの値を求めよ。 (2) 2以上の自然数とする。x+ax+6が(x-1)2で割り切れるとき (早稲田大) bの値を求めよ。 3 P

（2）Nを2以上とするという条件を表す式は解説の中のどこにあるのですか？ チャートSolutionに書いてるAのN二乗➖BのN二乗というのは高次方程式（三次式以上）を表すから二次式以上を表すことにはならないかなと思ったのですが、、

重要 例題 58 剰余の定理 (1) f(x)=x-ax+b が (x-1)2 で割り切れるとき,定数a, bの値を EX A めよ。 (2) 2以上の整数とするとき, x"-1 を (x-1)2で割ったときの [ 学習院大 ] を求めよ。 CHARTO SOLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 2② 余りには剰余の定理 (1) 次数に注目 (x-1)2で割り切れるf(x)=(x-1)2Q ⇒ f(x)がx-1で割り切れ、更にその商がx-1で割り切れる。 (2)次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし, d=1, 6°=1 である。 a"-6"=(a-b)(a^2+a-26+α-362++ab+b^-1) cata² + ab + 12 2015 -a a-1 B 解答 (1) f(x) は x-1 で割り切れるから よって 1-a+b=0_ ゆえに したがって f(x)=x-ax+α-1 ゆえに g(x)=x2+x+1-a とするとg(1)=0の 3-α=0 a=3 よって ゆえに これを①に代入して b=2 D(S-x)= (2) x1 2次式(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余り をax+b とすると,次の等式が成り立つ。 x-1=(x-1)2Q(x)+ax+b 両辺にx=1 を代入すると 0=a+b -²x£=(x)¶_‚$ 11-a+1 =(x−1)(x²+x+1−a) S8 SaS.8—($)%) 条件から,g(x) で割り切れる。 よって = 0 (1) b=a-1… ① afn 15-a x-1=(x-1)^Q(x)+ax xxa =(x-1){(x-1)Q(x)+α} x-1=(x-1)(x-1+x"-2+..+x+1) であるから √x²-¹ + x²-² + 両辺にx=1 を代入すると よって a=n したがって、求める余りは ゆえに + x + 1 = (x=1) Q(x) + a 1+1+ ······ +1+1=a b= nx-n PRACTICE・･・・ 58 ④ (1)a,bは定数で、xについての このとき a=-n 10 h=a= 11-a+1 -b = A=BQ+R -xa-5- 0 割り算の基本公式 (x-1)²Q(x)+ a( 1=xであるから の数はか でのn個 H

(4)の「aの５乗〜」からがわからないです😭 よろしくお願いします🙏

整数nは、 きの余 転の原 こと -2 <b bg 5倍 例題 124 割り算の余りの性質 基本例 bは整数とする。 αを7で割ると3余り, bを7で割ると4余る。 このとき, a, 次の数を7で割った余りを求めよ。 (1)a+26 (2) ab (3)a^ 指針 前ページの基本事項3の割り算の余りの性質を利用してもよいが,(1)~(3) は, a=7k+3,6=71+4と表して考える基本的な方針で解いてみる。 =7(7kl+4k+3 +1)+5 したがって 求める余りは (3) (7k+3) を展開して, 7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒。α'=(d2)^ に 着目し,まず,²を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。 (4) 割り算の余りの性質 4 α” をmで割った余りは, r” をmで割った余りに等しい を利用すると, 求める余りは 「32021を7で割った余り」であるが, 32021の計算は不可 能。 このような場合、 まず " をmで割った余りが1となるnを見つけることか ら始めるのがよい。 CHART 割り算の問題 a=7k+3,6=7l+4 (k, lは整数)と表される。 解答(1)a+26=7k+3+2(71+4)=7(k+2l)+3+8 =7(k+21+1)+4 したがって、求める余りは (2) ab=(7k+3)(71+4)=49kl+7 (4k+3l)+12 =7(7m²+4m)+4 A=BQ+R が基本 (割られる数) = (割る数)×(商)+(余り) 5 (3) a²=(7k+3)²=49k² +42k+9=7(7k²+6k+1)+2 よって、a²=7m+2(mは整数)と表されるから α^=(a²)²=(7m+2)=49m²+28m+4 7 (8+ (4) a 2021 したがって 求める余りは (4) (3) より αを7で割った余りが4であるから, αを7 で割った余りは, 4･3を7で割った余り5に等しい。 ゆえに,αを7で割った余りは, 5・3を7で割った余り 5 /p.536 基本事項 1.3 1 に等しい。 a2021=(α6)336.5であるから、求める余りは,1336.5=5 を7で割った余りに等しい。 したがって 求める余りは 別解 割り算の余りの性 を利用した解法。 (1) 2を7で割った余りに 2 (27.0+2) であるか ら26を7で割った余 りは2･48を7で割っ た余り1に等しい。 ゆえに α+26 を7で 割った余りは3+1=4 7で割った余りに等し よって, 求める余りは (2) abを7で割った余 は3･4=12を7で割っ 余りに等しい。 よって, 求める余りは (3) αを7で割った余 は3481 を7で割っ 余りに等しい。 よって, 求める余りに (3)

解き方分からないので教えてください( ᐪ ᐪ )( ᐪ ᐪ ) ちなみに答えは3x+1です！

(x-2y) の展開式におけるxyの係数を水のよ。 an isy TI) の展開される ay 数 ⑦ 整式 6x3x2+2x+3 をxの整式Aで割ると,商が 2x2x+1, 余りが2であるとき,整式Aを求めよ。