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基本例題 182 最大値・最小値から関数の係数決定 (2)
x-b
x² +a
a,bは定数で, a>0とする。 関数f(x)=
であるとき, a, bの値を求めよ。
[弘前大〕 ●基本180,181
指針 増減表を作って, 最大値と最小値を求めたいところであるが,f'(x)=0 となるxの値が複
雑なため、 極値の計算が大変。
そこで、
******
複雑な計算はなるべく後で に従って,f'(x)=0 の解をα,Bとし
2次方程式の解と係数の関係を利用して, α+β, αB の形で極値を計算する。
また, 関数 f(x) の定義域は実数全体であるから、増減表から最大値・最小値を求めるとき
は、p.306 の例題 180 同様,端の値として x±∞のときの極限を調べ,極値と比較。
解答
a>0 であるから,定義域は実数全体。 X-C2+1)x+αB=0
f'(x)=x2+a-(x-b)・2x
(x²+a)²
f'(x)=0 とすると x2-2bx-a=0
この判別式をDとすると
練習
x²-2bx-a
a-b
a² + a
関数f(x)=
/ (x²+a)²
①
4
ゆえに,f(x)はx=αで最小値f(α)
x=βで最大値f(B)
1
2'
x+a
条件から f(a)=
したがって 2α-26=-o'-a,
② により, a b を消去すると
2a-(a+B)=-a²+aß,
整理すると 2+(1-β)α-β=0,
よって (a-B)(a+1)=0,
αキβであるから α=-1, β=3
ゆえに、②から
2=26, -3=-a
すなわち
a=3、b=1
の最大値が 13.
L
D=(−b)²-1• (-a)=b²+a
+
a>0であるから
62+α>0
ゆえに D>0
よって, 方程式 ① は異なる2つの実数解 α, β (a <β) をもち, 解と係数の関係(*) から
α+β=26, aß=-a
970よりBOXくわから50
増減表は右のようになり lim f(x)=0, lim f(x)=0
00
X→∞
Ext
f(B)=
0-00に
ないないので
をとる。 Max Min
B²+a
6β-66=β2+α
x
00000
最小値が
◄ ( ² ) = ²
B-61があることが
6 わかる
6B-3(a+B)=B²-aß
B'-(3+α)β+3a = 0
(B-a)(B-3)=0
f(0) = -a
(9>0) Fy f(0) 50
B
f'(x)
0 + 0
f(x) 極小 極大 >
u'v-uv
02
0)について次のものを求めよ。
a
...
(*) 解と係数の関係
2次方程式
ax²+bx+c=0の2つの
解を α, β とすると
b
a+B=-₁
aß=
a
a
基本
αを正
AB=
ABC
指針>
解
IZAI
0<E
26
a
C
