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重要 例題 1222 変数関数の最大・最小 ( 4 )
000
小値、およ
実数x, y が x2+y2=2を満たすとき,2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。また,そのときのx, yの値を求めよ。
思い出
203
[類 南山大 ]
基本 101
指針
条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y2=2から文
字を減らしても, 2x+yはxyについての1次式であるからうま
くいかない。
見方をか
そこで, 2x+y=t とおき, tのとりうる値の範囲を調べることで,
最大値と最小値を求める。
→2x+y=t を y=t-2x と変形し,x2+y2=2に代入してyを消
去すると x2+ (t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。
xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。
実数解をもつ⇔D≧0 の利用。
CHART 最大・最小 =t とおいて,実数解をもつ条件利用
13
3章 15 2次不等式
2x+y=t とおくと y=t-2x
①
二もに2枚
これをx2+y2=2に代入すると
解答
式は
整理すると
x2+(t-2x)=2
5x2-4tx+t2-2=0
k, yth
g-s+x)=
ONCE
+
Sy
このxについての2次方程式② が実数解をもつための
条件は、②の判別式をDとすると
D≧0
参考実数a, b, x, y に
ついて,次の不等式が成り
立つ(コーシー・シュワル
ツの不等式)。
(ax+by)²=(a+b²) (x² + y²)
[等号成立は ay=bx]
この不等式に α=2,6=1
。
ここで
D=(-2t)2-5(2-2)=-(f2-10)
(ハース)を代入することで解くこと
できる。
D≧0 から
t2-10≤0
>>
これを解いて -√10 ≤t≤√√10
す。
-4t
2t
t=±√10 のとき, D=0で,②は重解 x=-
を
のとき,②は
t=±√10
2.5
5
5x2+4√10x+8=0
2√10
もつ。=±√10 のとき x=±
5
よって
(√5x+2√2)
20
①から y=±
√10
(複号同順)
5
2/10
よって x=
y=
5
√10
のとき最大値 10
5
2/10
√√10
x=-
y=-
のとき最小値10
①からy=±
(複号同順)
ゆえに
x=±
=±
2√2 2/10
√5
5
√10
5
5
5
としてもよい。
