E
数学的帰納法 (1)
146
(1) 任意の自然数nに対して
1 1
2 3
が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ.
3an-1
4an-1
1+
・+:・・+・
+
1 2n
2.
n n+1
(2) 初項 α=1 と漸化式 an+1=
{an}について,以下の問いに答えよ.
(i) a2,a3, a を求めよ.
an をnで表す式を推測し,それを証明せよ.
(1) 自然数nについての命題P(n)
に対し、次の2つのことを示して,
無限にある命題がすべて真であるとする証明法を
数学的帰納法といいます。
精講
Int
(I) P(1) は真である.
(Ⅱ) P(k) は真であると仮定すると,P(k+1)
も真である.
(2) 型にはまった2項間, 3項間漸化式でない
ときは,なかなか一般項が求められないものです.
このようなときは, 本間のような (i),(ii)の誘導が
なくても,一般項を推定し,それを数学的帰納法
で示すといった解法をとります.
( 愛知学院大)
(n=1, 2, 3, …)で定まる数列
解答
(1)(I)n=1のとき(左辺)=1,(右辺)=-
2
1+1
2k
k+1
+
2(k+1)
k+2
解法のプロセス
(1) 自然数nについての命題
P(n) の証明法
↓
327
( 愛知教育大 )
数学的帰納法
(II)n=kでの成立を仮定すると
2(k+1)
1
1
(1 + - ² + 1 ² + + — + x + 1) - ² +223
2
3
k
・P(1) は正しい
・P(k) が正しいと仮定する
と,P(k+1) も正しい
(2)
推定
↓
数学的帰納法で確かめる
-=1 となり, 成立する.
(帰納法の仮定)
k
(k+1)(k+2)
->0
1
k+1.
(2k+1)(k+2)−2(k+1)²
(k+1)(k+2)
であるから,n=k+1 のときも成立する.
(I), (II)より任意の自然数nに対して与えられた不等式は成立する.
第8章
