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第3章 図形と式
引
46 軌跡(IV)
放物線y=x^2-2x+1 と直線 y=mx について,次の問いに
答えよ.
(1) 上の放物線と直線が異なる2点P, Qで交わるためのmの範
囲を求めよ.
(2) 線分 PQ の中点Mの座標をm で表せ.
(3)m が(1)で求めた範囲を動くとき,点Mの軌跡を求めよ.
精講
考えて
(1) 放物線と直線の位置関係は, 連立させて y を消去した2次方程
式の判別式を考えます。める
異なる2点とかいてあるので,判別式≧0 ではありません。
(2)(1)の2次方程式の2解がPとQのx座標ですが,m を含んだ式になるの
で2解をα,βとおいて,解と係数の関係を利用した方が計算がラクです。
(3) (1)において,mに範囲がついている点に注意します。
45 精
Ⅲ)
解答
②
y=x²-2x+1 ①, y=mx
10)
(1) ①,②より,yを消去して,ー(m+2)x+1=0 .....③ta}
③は異なる2つの実数解をもつので,
判別式をDとすると, D>0
m²+4m>0
D=(m+2)2-4 であるから
m(m+4)>0
m<-4,0<m
(2)③の2解をα,βとすれば,
P(a,ma), Q(B, mβ) とおける.
このとき,M(x,y) とすれば,
Y
y=x^2-2x+1
a+B
M
x=
2 y=
m(a+β)
2 =mx
④
P
ここで,解と係数の関係より
10
a 1
α+β=m+2 だから
tale y=mx
2
(E)
-------18
x
