青線部分は異なる2つの虚数解ではないんですか？

基礎問 17 解の判別(I)) 次のxについての方程式の解を判別せよ.ただし,kは実数と する. (1) 2-4x+k=0 精講 (2) kx²-4x+k=0 るのですが、はたして....... YE 「解を判別せよ」 とは、 「解の種類 (実数解か虚数解か)と解の について考えて, 分類して答えよ」 という意味です.ということ (1), (2) 2次方程式だから, 判別式を使えばよい!!」 と思いたく 解 答 (1)4x=0 の判別式をDとすると,224kだから この方程式の解は次のように分類できる. する (i) 4-k<0 すなわち, k>4のとき D<0 だから, 虚数解を2個もつ (i) 4-k=0 すなわち, k = 4 のとき D = 0 だから, 重解をもつ ( 40 すなわち, k<4のとき D>0 だから, 異なる2つの実数解をもつ (i)~(i)より. k>4 のとき, 虚数解2個 k=4 のとき, 重解 ん<4 のとき、 異なる2つの実数解 <D< 0 STATSA 4 |D=0 ID>0 5 (ii) 165 Gi (ア)

４番です。「x^2の係数は正で」と示す理由は何ですか？

174 基本例題 107 2次不等式の解法 (2) 次の2次不等式を解け。 (1) x²+2x+1>0 (3) 4x≧4x2+1 指針 例題の2次不等式は, 不等号を等号=におき換えた 2次方程式 ax2+bx+c=0が重解x=α (D=0) をも つ, または実数解をもたない (D<0) 場合である。 整理したときの左辺の2次式は D=0のとき ax2+bx+c=a(x-α)2 D<0のとき ax+bx+c=a(x-p)^+q 解答 (1) x2+2x+1=(x+1)^ であるから, 不等式は (x+1)^>0 よって, 解は -1以外のすべての実数 a>0ならg>0- この変形やDの符号からグラフを判断し、 不等式の解を求める。 (2) x2-4x+5=(x-2)+1であるから, 不等式は (x-2)^+1>0 よって, 解はすべての実数 (3) 不等式から 4x²-4x+1≦0 4x²-4x+1=(2x-1)2 であるから, 不等式は (2x-1)≦0 =--1/11 (2) x²-4x+5>0 (4) -3x2+8x-6>0 よって, 解はx= (4) 不等式の両辺に-1を掛けて 3x²-8x+6<0 2次方程式 3x2-8x+6=0 の判別式をD (1) (2) kkk (3) + (4) 00000 p.171 基本事項 3~⑤5) D=0のとき [a>0] D<0のとき vu D=0 の場合、 左辺の式を 基本形に。 <x<-1, -1<xと答えて もよい｡ D<0 の場合、 左辺の式を 基本形に。 <関数y=x²-4x+5の値は, すべての実数xに対して y>0 <関数y=4x²-4x+1の値は x=1/1/2のときy=0 x 1/23のときy>0 とすると 4=(-4)-3·6=-2 3x²-8x+6 の係数は正で,かつD<0であるから,すべての実数x=3x-1/28) 2+1/2/3 ついて 3x²-8x+6> 0 が成り立つ。 よって, 与えられた不等式の解はない であるが, この平方完成は やや面倒なので、Dの符号 を調べた方が早い。

「重解をもつための必要十分条件はD=0」 ではなく「重解をもつのでD=0」でもいいですか？ また「重解は」ではなく「解は」でもいいですか？ 最後に、重解がx=-mであることを求めなくても 与えられた2次方程式にm=-2を代入するとx=2が出てくる（m=5でも同様に）と思うの... Read More

156 基本例題 97 / 2次方程式の実数解の個数, 重解条件 ①①①①① (1) 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。 ただし、(イ) kは定数とする。 (ア) x²-3x+1=0 (イ) x2+6x-2k+1=0 (2) xの2次方程式x2+2mx+3m+10=0が重解をもつとき, 定数mの値を求 めよ。 また, そのときの方程式の解を求めよ。 p.149 基本事項 ② 基本115 指針▷ (1) 2次方程式 ax²+bx+c=0 (a, b c は実数) の実数解の個数は、判別式 D=ぴー4acの符号で決まる。 D>0⇔2個 D=0⇔1個 D<00個 (イ) Dがんの1次式になるから, kの値によって, 場合を分けて答える。 (2) 2次方程式が重解をもつ⇔D=0 によって得られる の方程式を解く。 また, b 2次方程式 ax²+bx+c=0が重解をもつとき, その重解はx=- (p.149 参照 ) 2a D なお,xの係数がb=26' (2の倍数) のときは, 1/1=6 =b"-ac を使う方が, 計算がら になる。 ← (1) の(イ), (2) 解答 (1) 与えられた2次方程式の判別式をDとする。 (ア) D=(-3)^-4・1・1=9-4=5 D>0であるから、 実数解の個数は 2個 (イ) 41=3°-1・(-2k+1)=2k+8=2(k+4) よって,実数解の個数は,次のようになる。 D0 すなわち k> 4 のとき D = 0 すなわち k = -4のとき D<0 すなわち k<-4のとき (2) この2次方程式の判別式をDとすると D 2= =m²-1.(3m+10)=m²-3m-10=(m+2)(m-5) 重解をもつための必要十分条件は すなわち (m+2)(m-5)=0 また, 重解は したがって x== 2m 2･1 =-m 2個 1個 0個 D=0 よってm=-2,5 カール m=-2のとき 重解はx=2, m=5 のとき 重解はx=-5 次方程式 x2+2・3x-2k+1=0 とみて 12/2 を計算している。 2次方程式 ax2+2b'′x+c=0 の重解は x== 26′ 2a b' a

1）共有点のx座標をαに置き換えてしまっていたのですがこれでも大丈夫ですか？？ 3）実数解をもたないことを省略していたのですが大丈夫ですか？

62 00000 基本例題 100 放物線とx軸の共有点の座標 次の (1)~(3) の2次関数のグラフはx軸と共有点をもつか。 もつ場合は、その 標を求めよ。 (1) y=x2-3x-4 (2) y=-x2+4x-4 指針▷ 2次関数y=ax²+bx+cのグラフとx軸の共有点のx座標は , 2次方程式 ax²+bx+c=0の実数解である。 したがって, 次のことがいえる。 共有点のx座標⇔方程式の実数解 D>0⇔2個 D=0⇔1個 D< 00個 また,2次方程式 ax2+bx+c=0 の判別式をD=62-4ac とすると, グラフとx軸の共有 点の個数は → → 解答 (1) x2-3x-4=0 とすると (x+1)(x-4)=0 よって x=-1,4 したがって, x軸との共有点は2個あり, その座標は (-1, 0), (4, 0) D≧ 共有点をもつ D<0⇔共有点をもたない x2-4x+4=0...... (*) (2) -x²+4x-4=0 とすると ゆえに (x-2)²=0 よって x=2 (重解) したがって, x軸との共有点は1個あり, その座標は (2, 0) (3) 2次方程式 3x²-5x+4=0 の判別式をDとすると D=(-5)-4・3・4=-23 D<0であるから, グラフとx軸の共有点はない。 (1) LA (2) ye (3) y 10 14 x 0 -4/ x 12 15 (3) y=3x²-5x+4 p.161 基本事項 ①. o 6 that <x-3x-4=0 の判別式を Dとすると D=(-3)²-4-1-(-4) =25>0 (*)の判別式をDとすると D=(-4)2-4・1･4=0 グラフはx軸に接し,点 (20) は 接点である。 [注意 2次関数のグラフとx 軸の共有点の有無だけなら, D=64ac の符号を調べる ことでわかるが、共有点の座 標を求めるときは,左の (1), (2) のように2次方程式を解 く必要がある。 検討 2次関数のグラフがx軸と1点を共有する場合について D=b-4ac=0のとき, 2次関数y=ax²+bx+cのグラフは,x軸とただ1点を共有し、共有点 のx座標は、2次方程式 ax²+bx+c=0の重解である。このような場合。 2次関数のグラフはx 軸に接するといい, その共有点を 接点という。

2番がよく分かりません。 解説を読んでも判別式がD🟰0になる理由が分かりません。教えていただきたいです

p. 161 25 練習 68 北 した2次方程式の判別式 D の符号で決まる (1) 放物線y=2x2+4x+3と直線y=-4x+k の共有点の個数を定数kの 値によって分類せよ. (2) 原点を通る直線で,放物線 y=x²-4x+9 に接する直線の方程式を求めよ. また、そのときの接点の座標を求めよ. →p.16124

(1)どうして二次方程式を重解を持つんですか？

06 直交する接線一 y平面上の楕円 4.2² +9y²=36 をCとする。 (1) 直線y=ax+bが楕円℃に接するための条件をaとbの式で表せ。 (2) 楕円Cの外部の点PからCに引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ. (弘前大医、理) 接することを重解条件でとらえる 例題(1)では,y=ax+b という設定なので, 接することを重 解条件でとらえる (yを消去) のが素直な解法と言える. 接点をおいてもできる。 αについての方程式を作る 楕円の外部の点Pを決めると2本の接線が決まるが,それらの傾き (2 つのαの値)が1つの2次方程式の解になっていることがポイントとなる.なお, 接線の一方がy軸に 平行なときはy=ax+bと表せないので別に処理する。 解答量 (1) Cy=ax+6からyを消去すると、 4x2+9(ax+b)²=36 ∴. (4+94²) 2+18abz +96²-36=0 求める条件は、この²の2次方程式が重解をもつことだから, 判別式=0より (9ab)²-(4+9a²) (96²-36)=0 9a²-b²+4=0 (2) 2接線のうちの一方がy軸に平行なとき, ←(ab)と9²-962 がキャンセ される.

どこが間違えているのか分かりません。 また、問題文の2解とは重解の場合も含むのですか？ よろしくお願い致します。

xの方程式x2-ax+3-a=0について,次の各問い に答えよ. (1) 正の解と負の解を1つずつもつような実数αの値 の範囲を求めよ. (2) 2解がともに 1/12以上となるような実数aの値の範 囲を求めよ. 1 C G

この問題の⑵で、h 1＝0となるのはなぜですか？ 教えてください お願いします！！

接線の方程式 (2) 196 (1) f(x)はxについての多項式とする。 曲線 C:y=f(x) 上の点P(a, f(a)) を通る直線y=mx+nがPにお けるCの接線であるための必要十分条件は f(x)-mx-n=0 が x=a となる重解をもつ ことである.これを証明せよ. ( 福岡教育大 ) (2) 直線y=m(x-1) と曲線 y=(x-1)(x+a)(x-α) が接するときの の値を求めよ.ただし, a は 0 <a < 1 をみたす定数とする. (島根大) (1)y=mx+n が P(a, f(a)) にお解法のプロセス ける接線であるということは, mx+n=f'(a)(x-a)+f(a) が任意のxに対して成り立つということです. 一方,g(x)=f(x)-mx-n とおくと g(x)は多項式であり, 方程式 g(x)=0が重解αをもつ ための必要十分条件は 精講 g(a)=g'(a)=0 (標問94 ) でした.g(a), g'(a) の中に, f(a),f'(a) が現れ ますから,m,nの条件とつながります. (2) g(x)=(x−1)(x+a)(x− a)²−m(x−1) ≥ して(1)を利用します. 解答 (1) P(a, f(a)) における接線の方程式は y=f'(a)(x-a)+f(a) であるから 「y=mx+nがPにおけるCの接線である」 「m=f'(a) かつ n= f(a) -af'(a)」 一方,g(x)=f(x) -mx-n とおくと 「f(x)-mx-n=0が ⇒ 「g(a)=0 かつ g'(a)=0」 であるから, (A)(B)であることを示す. 219 .. y=f'(a)x+f(a)-af'(a) (A)=( (1) 点(a, f(a)) における接線 がy=mx+n である条件(A) を式で表す f(x)-mx-n=0 がx=αで重解をもつ条件 (B) を式で表す ↓ (A)(B) かつ (B)⇒ (A) を示す (2) (1) の利用を考える ↓ f(x)-m(x-1)=0 が重解をもつ x=α となる重解をもつ」 ...... (A) ・(B) 第6章 ⇒ (B) であること ((B)は(A)の必要条件): g(x)=f(x)-xf' (a)-{f (a) - af'(a)} とおくと JOX)-を保 JU)-MES/(a)

(1)で、判別式が小なりイコールになるのはなぜですか？ pが2のとき、重解になり解がひとつで適さないと思いました。

仕範囲 2次方程式x-2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように、 定数の値 の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 & (2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 △ 1 小学 指針 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1> 0 かつ β-1>0 (2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 α-3とβ-3が異符号 以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを利用 する解法 (p.81 の解説) もある。これについては, 解答副文の別解 参照。 3460000 解答 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα, βとし、判別式 をDとする。 解と係数の関係から (1) α>1,β>1であるための条件は (8+6)8-20 D≧0かつ (α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1)(β−1) > 0 D≧0から よって (p+1)(p-2) ≥0 p≤-1, 2≤p (a-1)+(β−1)> 0 すなわち α+β-20 から 2p-2>0 よって 2 p>1. SUP (α−1)(B−1)>0 すなわち αβ-(α+β) +1>0 から p+2-2p+1>0 すなわち ゆえに f(x)=x2-2px+p+2の グラフを利用する｡ $ (820) 8 =(-p)²-(p+2)=p²-p-2=(p+1)(p−2)|(1) =(p+1)(p-2) 20, D 軸についてx=p>1, f(1)=3-p>0 から 2≦p<3 YA a+β=2p,aβ=p+2 よって よって <3 3 求めるかの値の範囲は, ①, ②, ③の共通範囲をとって ...... 11 p> 1 1 p.81 基本事項 [2] 別解 2次関数 1 2 3 p 3-p 4 0 1 x=p_y=f(x) a P -B 2≦<3 (2) α<β とすると,α <3 <β であるための条件は題意から、α=B1 ない。 1 (a-3)(8-3)<0 aß-3(a+B)+9<0 p+2-3-2p+9<0 20 (2) f(3)=11-5p<0 118 r2=0が次の条件を満たす解をもつように

１番と２番ですが、共有点の個数を直接は書いておらず、 共有点のx座標を表すことで間接的に個数を表している感じの記述になってしまっているのですがこれでも大丈夫ですかね？？

162 00000 基本例題100 放物線とx軸の共有点の座標 次の (1)~(3) の2次関数のグラフはx軸と共有点をもつか。 もつ場合は、その 標を求めよ。 (1) y=x2-3x-4 (2) y=-x2+4x-4 指針▷ 2次関数y=ax²+bx+cのグラフとx軸の共有点のx座標は,2次方程式 ax2+bx+c=0の実数解である。 したがって,次のことがいえる。 共有点のx座標 方程式の実数解 また,2次方程式 ax2+bx+c=0 の判別式をD=62-4ac とすると, グラフとx軸の共有 102 点の個数は 解答 (1) x2-3x-4=0 とすると (x+1)(x-4)=0 よって x=-1,4 したがって,x軸との共有点は2個あり, その座標は (-1,0),(4,0) D>0⇔2個 -> D≧0⇔共有点をもつ D=0⇔1個 D<0⇔0個 - D<0⇔共有点をもたない x2-4x+4=0 (*) (2) -x2+4x-4=0 とすると ゆえに (x-2)=0 よって x=2 (重解) したがって,x軸との共有点は1個あり, その座標は (2, 0) (3) 2次方程式 3x²-5x+4=0の判別式をDとすると D=(-5)-4・3・4=-23 (1) YA 3 2 D<0であるから、グラフとx軸の共有点はない。 (2) y (3) Ay 0 J -4 -10 14x -4 25 x (3) y=3x-5x+4 p.161 基本事項 ①. ② 4 23 12 5 6 x * 検討 2次関数のグラフがx軸と1点を共有する場合 <x2-3x-4=0 の判別式を D とすると D=(-3)²-4・1・(−4) =25> 0 (*)の判別式をDとすると D=(-4)²-4・1・4=0 グラフはx軸に接し,点 (20) は接点である。 [注意] 2次関数のグラフとx 軸の共有点の有無だけなら, D=62-4ac の符号を調べる ことでわかるが、共有点の座 標を求めるときは,左の (1), (2) のように2次方程式を解 く必要がある。 COMPOS