例題103
文字係数の2次不等式の解
次のxについての不等式を解け。ただし,
x-(a+a)x+a'≤0
は定数とする。
基本 31.87,88
重要 105
HART
SOLUTION
係数に文字を含む2次不等式
2次方程式の解の大小関係に注意して場合分け
左辺は因数分解できて (x-a)(x-a)≤0
<βのとき (xa)(x-3)
ここではα,Bがともにαの式で表されるから,ととの大小関係で場合が分かれる。
解答
不等式から
x²-(a+a)x+ a³ ≤0
したがって
(x-a)(x-2)≦0
④ [1] a<a のとき
a²-a>0 5 a(a-1)>0
よって
a≤0, 1<a
このとき、①の解は
a≤x≤a²
なぜa-acoでは
だめなのか
① [2] a=a' のとき
a²-a=0 5
よって
α=0 のとき
a=1のとき
■ [3] a>αのとき
a²-a<0 5
a(a-1)=0
a=0,1
①はx0 となり
①は (x-1)2≧0となり
ala-1)<0
x=0
x=1
3
11
2
たすき掛けを利用すると
次
-a
不
-a²-a²
1 a³
-(a²+a)
I
αの値を ① に代入。
(x)20を満たす解
はxのみ。
よって
0<a<1
このとき,①の解は
a² ≤ x ≤a
以上から
0<a <1 のとき
a²≤x≤a
a=0 のとき
x=0
α=1のとき
x=1
a < 0, 1 <α のとき x
0≦x≦
x = 0,
1≦x1 は x=1
を表すから,解は
≦a≦のとき
a²≤x≤a
α < 0, 1 <a のとき
a≤x≤a²
と書いてもよい。