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基本例題 118 連続する整数の積の性質の利用
(1) 連続した2つの整数の積は2の倍数であることを証明せよ。
(2) 連続した3つの整数の積は6の倍数であることを証明せよ。
が奇数のとき, nnは24の倍数であることを証明せよ。
(3)
(2) は (1) , (3) (1), (2) の性質を利用してよい。
MA
指針 (1), (2) 連続した2つの整数には偶数が, 連続した3つの整数には3の倍数が含まれる。
解答
以下, kは整数とする。
(1) 連続する2つの整数をn, n+1とし, A=n(n+1) とする。
[1] n=2k のとき
A=2k(2k+1)
[2] n=2k+1のとき A=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1)
したがって, Aは2の倍数である。
(2) 連続する3つの整数をn-1, n, n+1とし,
B=(n-1)n(n+1) とする。
(1) より, 連続する 2 整数の積は2の倍数であるから,Bは2
の倍数である。ゆえに,Bが3の倍数であることを示せば,
連続したn個の整数には、nの倍数が含まれる
この性質は証明なしに用いてもよいが,基本例題117 と同じように考えてみよう。
(3) (1),(2) 性質が利用できるように n を変形する。
を因数分解すると n³_n=n(n²−1)=n(n+1)(n−1)=(n−1)n(n+1)
Bは6の倍数であることが示される。
[1] n=3k のとき,Bは明らかに3の倍数である。
[2] n=3k+1のとき
n-1=(3k+1)-1=3k
[3] n=3k+2のとき
n+1=(3k+2)+1=3(k+1)
よって, n, n-1, n+1のいずれかが3の倍数となるから,
Bは3の倍数である。 したがって, Bは6の倍数である。
(3) が奇数のとき, n=2k+1と表される。
n
n³_n=(n−1)n(n+1)= (2k+1)(2k+2)
=4k(k+1)(2k+1)=4k(k+1){(k−1)+(k+2)}
=4{(k−1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)}
00000
......
より, 1(+1), k(k+1)(k+2) はともに6の倍数
であるから, a,bを整数とすると, ① より
n³-n=4(6a+6b)=24(a+b)
よって, nが奇数のとき, n-nは24の倍数である。
基本 117
In が偶数なら
n+1は奇数。
nが奇数なら
n+1は偶数。
連続する3つの整数をn,
n+1, n+2としてもよい｡
注意 (2) では,nを6k
6k+1, .....6k+5の6つ
の場合に分けることも考え
られるが,これは面倒。
(検討)
連続したn個の整数の積は
n! の倍数である
ことが知られている。
n=2k-1としてもよい。
◄(k-1)k(k+1),
(k+1)(+2) はともに
続する3 整数の積。
