数Ⅱの問題です。線を引いているところがわかりません。解説をお願いします。

324 基本例題 2083次関数の極大値 aは定数とする。 f(x)=x^3+ax²+ax+1がx=α, B(α<B) で極値をとると [類上智大 f(a)+f(B) = 2 ならばαである。 指針 3次関数f(x) が x = α, βで極値をとるから, α, βは2次方程式(x)=0 のであ このようなときは、 2次方程式の 解と係数の関係 を利用するのがセオリー。 しかし、 f'(x)=0 の解を求め, それをf(α)+f(B)=2に代入すると計算が面倒になる f(a)+f(B)はα, β の対称式になるから,次の CHART に従って処理する α,β の対称式 基本対称式α+β,αβ で表される 解答 f(x)=3x²+2x+α f(x)はx=α, Bで極値をとるから, f'(x)=0 すなわち 3x²+2ax+a=0 ① は異なる2つの実数解 α, βをもつ。 D>0 よって、 ①の判別式をDとすると D=α²-3.a=a(a−3) であるから したがって a<0, 3<a ② ① また, ① で, 解と係数の関係より α+β=- ここで a(a-3)>0 (f(α)+f(B)=(3+3)+a(d²+B2)+α(a+β)+2 =7²-²2²+2=> f(a)+f(8)=2から12/2701/23a²+2=2 よって 2a³-9a²=0 ② を満たすものは a= 2 3 -a, aß= B=1/31 =(a+B)³-3aß(a+B) +a{(a+B)²-2aß}+a(a+B) +2 9 2 =(-¾a)²-3·¼a·•(-za)+a{(-−¾—za)²−2·¼—_a}+a⋅(− 3a)+2 tab5 a²(2a-9)=0 a まず、f(x) が極値をもっ うなaの値の範囲を おく(前ページの例題 (2) と同様)。 f(a)+f(B)=2は、 f(x) の極値の和が2で るということ。 検討 3次関数のグラフの対称性を利用する 3次関数y=f(x) のグラフにおいて, 極値をとる2点 (a, f(a)), (B, f(B) を結ぶ線分の中点の座標は, (a+2, a+ß f(a)+f(B))であり、 a+b=-2/3aとf(a)+f(B)=2 から (1/31) Ralf

このような問題で増減表を書くのは何故ですか？ Xの三乗や、4乗は グラフの形を覚えていて、今回の場合、X3乗の係数が正だったのでグラフより極値を求めました、 このやり方ではいつかミスすることが起きたりしますか？そうなる場合何故なのか詳しく教えて欲しいです

415 関数 f(x)=f(-2)dt の極値を求めよ。 〔類15日 C Get Read

(1)なぜ実数解が2個あるといいきれるのですか？ 実数といっているから虚数解が出てくることは無いですが、重解になることはあるくないですか？

けるf(x)の ラフをかき、 この値が区間 着目して場 なる a があ 13/ 17 0 極小 y=f(x)| + 192 条件つきの最大・最小 要 例題 x,y,zはx+y+z=0,x2-x-1=yz を満たす実数とする。 (1) xのとりうる値の範囲を求めよ。 (2)x+yの最大値 最小値と, そのときのxの値を求めよ。 CHART O 条件式 SOLUTION 文字を減らす方針で、計算がしやすいように yz がxの式で表され, また y+z=-x から y+z もxで表される。 X 解答 (1) 条件から ①から,y,zはもの2次方程式 xtrade つの実数解であるから, 判別式をDとすると D=x2-4(x2-x-1)=-3x2+4x+4 (3x+2)(x−2)≦0 ≦x≦2 f'(x) p.70 基本事項1で学習した解と係数の関係により,yとzは2次方程式 p2-(-x)+x2-x-1=0, すなわち2+xt+x2-x-1=0の2解であり, 実数解が存在する条件 D≧0からxの値の範囲が求められる。 (2) (1) でxの範囲を求めているから,y,zを消去して x+y+zを変数xだ けの式で表す。… y'+2はy, z の対称式であるから x³+y³+z³=x³+(y+z)³-3yz(y+z) Alle y+2=-x,y=x2-x-1 3 A ①から これを解いて (2) ①から x³+y³+z³=x³+(y+z)³-3yz(y+z) =x+(-x)-3(x-x-1)(-x)=3x-3x²-3x + T 1 0 21 D 極小 ****** + inf (2) 最大値、最小値 f(x)=3x-3x2-3x とすると をとるときのy, zの値は, そのときのxの値を ① に 代入して解けば得られる。 f'(x)=9x2-6x-3=3(3x²-2x-1)=3(3x+1)(x-1) x=2のときy=z=-1 したがって、f(x) の増減表は次のようになる。 x=1のとき 区 2 -1)=0022 0 極大 f(x) - 1²/²7 5 2 よって、x=2で最大値 6, x=1で最小値-3 をとる。 6 ² WX+0x + XB の火をもをおいている!! 基本 185 ID=-3x2+4x+4 y= ☆無件で、解と作品の 2= =-(3x+2)(x-2) -1±√5 2 関係をつかっても良い! 1/5 2 196, ◆極値と端の値を比較。 5 9 (複号同順) - 287 <6, -3<- aso 実数とする y = 6章 21 関数の値の変化

数2の微分です。 解説の（2）の5行目の、因数分解？をしているところなんですけど、f'（γ）はどのように変形すれば良いのでしょうか？因数分解するまでの流れを教えていただきたいです。

●7 実数解の個数/定数項以外に文字定数- 関数f(x) = ar(a+3)x+a+3について,次の問いに答えよ.ただし,αは0でない実数とす (1) f(x) の導関数をf(x) とする。 æの方程式f'(x)=0が実数解をもつようなaの範囲を め,またそのときの実数解をすべて求めよ. (2) の方程式f(x)=0が3個の異なる実数解をもつようなαの範囲を求めよ。 (宮城教 f(α) f(β) の正負で解の個数がわかる 3次関数y=f(x) が, x=α, βで極値を持つとき, f(a)f(B)が,正, 0, 負のどれであるかによって, f(x)=0･･････① の解の個数が分かる. (i) f(a)f(B) <0⇔f(α) とf (B)は異符号 〔f (α) f (B) <0なら,α=B] (i) f(α)f(β)=0⇔f(α)= 0またはf(β)= 0 (i) f(α)f(B)>0⇔f(α) f (B)は同符号 であることに注意すれば, (i) ~ (Ⅲ)のグラフは, (f(x)のxの係数が正とする) (i) (ii) (iii) NiNNINIA B 120 a B となる. 実数解の個数は, グラフとx軸の共有点の個数なので、 ①の実数解は, (i) のとき3個 (i) のとき2個 (i) のとき1個 ■解答量 (1) f'(x)=3a²²-(a+3) であり, a=0, f'(x)=0より, 右辺が非負のとき, x=± a +3 3a (=±y) とおく. x² = 9+3 3a a +3 -0. この左辺は, 4=0, -3の前後で符号変化し, a≦-3, 0<a ...... ① 3a (2) ① が成り立たなければならないから, 以下①の下で考える. f(x)=0が3個の異なる実数解を持つ f(r)f(-x)<0 f(x)をf(x)で割ると、商 1/23/2/3 (a+3)x+a+3となるので --x, ƒ(x)= xƒ'(x)=²(a+3)x+a+3. CHKx=y&HALT, f(x)=1/17f(x) 1/12 (a+3)y+a+3= (-/2/2y+1)(a+3) 同様にして、バー) (12y+1)(a+3) s(r)s(-x) = (-3²3r+1)(²3r+1)(a+3)²=(1-1/y²)(a+3)² a=-3のときf(x) f(-y) =0で不適であり, (a+3)^>0 に注意すると, f(y) f(-y) < 0 ⇒1-²01-2 4 a +3 9 3a 10⇒ 23a-12 27a -<00<a< 12 23 f 2018 左辺は, a>0のとき正なので 0>α>-3のときは負, -3> のときは正となる. -3 0 07 演習題(解答は p.127) a は実数とする. 3次方程式x+3a²+3ax+α=0の異なる実数解の個数は,定数a の値によってどのように変わるかを調べよ. (横浜市大理系) f(x)f(-x)<0ならば, yキーなので, x=y, -vで 値を持つ . p.14 で紹介した「次数下げ」 f'(x)=0 B 1 0 12 23 極値の積の正負を調べ る. 4340 a fcr f

解説下から４段目 なぜF(−√a)＞0 だと答えが0＜a＜1とならないのですか？

日本例題 195 文字係数の方程式の実数解の個数 (2) 00000 3次方程式 -3ax+2=0 が実数解をただ1つもつように,定数aの値の 範囲を定めよ。ただし, a>0とする。 [類津田塾大] がある CHART OLUTION αと変形しても 解答 x+2 =x2+2のグラフは数学Ⅲの知識がないとかけない。 3x 3x よって, y=x-3ax+2のグラフとx軸の共有点の個数を調べる。 ・・・･･・･工 f'(x)=3x²-3a=3(x²-a)=3(x+√a)(x-√a) f'(x)=0 とすると x= -√a, √a 増減表は右のようになるから、f(x)の 極大値は f(-√a)=2a√a +2, .極小値は f(√a)=-2aa + 2 y=f(x)のグラフとx軸の共有点が1個である条件は affa) となることである。 f(x)=x-3ax+2 とするとき, y=f(x)のグラフとx軸の共有点が1個となる条件を 考えればよい。 va)であるから, 2a√a +2>0 から d)>0となればよい。 ava <1 すなわち <1 a>0であるから 0<a<1 f(ja) >0 2441A 基本 194 -√a x f'(x) + 0 f(x) 極大ゝ 極小 f(-+ f(-√2) >07 f(a)で HON 次方程式f(x) = 0 の実数解の個数と極値 293 -√a Ta 0 + 極小 space/ za√a +230 + a√a > -1 =³² >1 √a XI

写真の問題についてですが、 赤線部には「x=2で極小値0をとるので、f'(2)=0」と書いてありますが、これは青線部の1行目の 「x=2で極小値→f'(2)=0は正しい」という文と同等だと思うのですが、なぜ、a,b,cの値を求めた後、吟味しているのですか？ 伝えたいことの... Read More

基礎問 144 第6章 微分法と積分法 90 関数決定 (ⅡI) 関数f(x)=x^3+ax2+bx+c は, x=2で極小値0をとり, x=1 における接線の傾きは3である. このとき, a,b,cの値 と,極大値を求めよ. 精講 「x=2で極小値→f'(2)=0」 は正しいのですが, 「f'(2)=0→x=2で極小値｣は正しくありません. ですから, a, b, c を求めたあと吟味が必要になります. 解答 f(x)=x+ax+bx+c より f'(x)=3x2+2ax+b x=2で極小値0をとるので, f'(2) = 0, f(2)=0 また, x=1 における接線の傾きは-3だから, f'(1)=-3 12+4a+b=0 ・① 8+4a+2b+c=0 Sar 16+2a+b=0 ①,③より, a=-3,6=0 ②に代入して,c=4 このとき, f(x)=x-3x2+4 ポイント 8 IC f'(x)=3x²-6x=3x(x-2) よって, 増減は表のようになり、 このf(x) は適する. |吟味 また,このとき, 極大値 4 (x=0のとき) ... f'(x) + f(x) > 連立方程式を作る 0 0 4 - 7 2 0 0 +: 7 「x=αで極値｣という条件を「f'(a) =0」 として使う ときは吟味が必要

実数解がなんなのか分からなくなりました、 三次方程式と3次関数の場合で考え方が違うんですか？ ずっと実数解はX軸とまじわるところの解と覚えて来ました、しかし1枚目では1点しか接していなくても実数解が2個とか、 2枚目では実数解1個やったらX軸と接するのは1つ(1枚... Read More

D まとめ 3次関数のグラフのまとめ 数学ⅡIの微分法では3次関数を扱うことが多い。 の特徴を、ここで改めてまとめておこう。 p.271 基本事項4でも簡単に触れたが, これまで学習してきた3次関数の性員やグラフ 3次関数f(x)=ax²+bx2+cx+d に対し | 2次方程式 f'(x)=0 (3ax²+2bx+c=0) の判別式をDとすると 傾きが〇であ D a>0 A a<0 inf. 4 f(x)=0実数解α, β(a <B) 極値がある = b2-3ac>0 x B f'(x) + 0 0 + f(x) 極大 極小 > 極大 a 極に 1 1 a 18-0 極 小 x B f'(x) + 0 f(x) 極小 極大 a α B f(x)=0はただ1つの縁をもつ ... 極大 他の が2つ B 重解 α (020 極値がない $12.12 D 4 As x = b2-3ac=0 f'(x) + f(x) f(a) f(x)≧0 常に増加 x a D 4 f(x)=0の価証=実教育の価 a 1 I 0 + ... a 0 f(x) f(a) a 1個口の玄 が1つ f'(x) ≤0 $ 常に減少 ... x x -=b2-3ac D=6²-3ac<0 4 実数解がない 極値がない x f'(x) + f(x) / f'(x) > 0-10 常に増加 XC f'(x) f(x) 279 14209 生かし x (f'(x)<0 常に減少 3次関数f(x) の性質 ① 極値をもつ ⇔ f'(x)=0 が異なる2つの実数解をもつ ②極値をもつ極大値と極小値が1つずつ (極大値)> (極小値) 6章 21 関数の値の変化

①から二次方程式がつくれると書いていますが、 何故ですか？ (α➕β) (αβ) このふたつがあると無条件で二次方程式をかってにつくっていいんですか？

0 3 192 条件つきの最大・最小 要 例題 1,²はx+y+z=0, x2-x-1=yz を満たす実数とする。 (②2)x+y+z の最大値、最小値と, そのときのxの値を求めよ。 (1) xのとりうる値の範囲を求めよ。 MOTTURO CHART OLUTION 文字を減らす方針で, 計算がしやすいように 条件式 (1) yz がxの式で表され, また y+z=-x から y+z もxで表される。 p.70 基本事項1で学習した解と係数の関係により,yとzは2次方程式 f_(-x)t+x²-x-1=0,すなわちf+xt+x-x-1=0の2解であり, 実数解が存在する条件 D≧0からxの値の範囲が求められる。 AB² LE 条件から y+z=-x, y=x-x-1 ①から,y,zはtの2次方程式 t2+xt +2. つの実数解であるから, 判別式をDとすると 4.05 D=x2-4(x2-x-1)=-3x2+4x+4 (3x+2)(x−2)≦0 -≦x≦2 から これを解いて 2①から (2) (1) でxの範囲を求めているから,y,zを消去して x+y+zを変数xだ けの式で表す。 ・y'+2はy, zの対称式であるから 200 x+y+z=x2+(y+z)-3yz(y+z) f'(x) f(m - 2 2 x³+y³+z³=x³+(y+z)³−3yz(y+z) =x2+(-x)-3(x²-x-1)(-x)=3x-3x²-3x f(x)=3x-3x2-3x とすると f'(x)=9x²-6x-3=3(3x²-2x-1)=3(3x+1)(x-1)/ したがって、f(x) の増減表は次のようになる。 3 + 0 極大 - 0 極小 + 10100000 ① 1=0の2 2 6 (1)(x)=3x2 x ² (1+0) x + XB) 15 トの火をもをおいている!! |基本 185 D=-3x²+4x+4 =-(3x+2)(x-2) inf (2) 最大値 最小値 をとるときのy, 2の値は, そのときのxの値を①に 代入して解けば得られる。 x=2のときy=z=-1 x=1のとき ==±√5 2 y=- 2=- 287 -17√5 2 5<6, 9 (複号同順) ◆極値と端の値を比較。 2 -3 <- 6章 21 関数の値の変化

(1)なぜいきなり(？と書いているところ)の式になるのか分かりません 教えて欲しいです

f(x) の 基本190 をかき, 値が区間 目して場 るαがあ 17 3 極小 17 3 0 + j=f(x) | +3 x 192 条件つきの最大・最小 zはx+y+z=0, x2-x-1=yz を満たす実数とする。 xのとりうる値の範囲を求めよ。 x+y+z3の最大値、最小値と, そのときのxの値を求めよ。 CHART O OLUTION 文字を減らす方針で, 計算がしやすいように 条件式がxの式で表されました解と係数の関係によりするもまで表される。 p2-(-x)+x-x-1=0, すなわち t2+xt + x²-x-1=0の2解であり, 70 基本事項で学習した解と係数の関係により,yとzは2次方程式 実数解が存在する条件 D≧0 からxの値の範囲が求められる。 (2) (1) でxの範囲を求めているから, y, z を消去して x+y+z3 を変数xだ けの式で表す。..…! y' +23はy, zの対称式であるから x³+y³+z³=x³+(y+z)³−3yz(y+z) y+z=-x,yz=x-x-1 条件から ①から,y,zはtの2次方程式 2+xt+x2-x-1=0の2 つの実数解であるから,判別式をDとすると D=x2-4(x2-x-1)=-3x²+4x+4 ?? (3x+2)(x−2)≦0 D≧0から これを解いて1/2x2 ≦x≦2 2①から x³+y³+z³=x³+(y+z)³−3yz(y+z) =x2+(-x)3-3(x2-x-1)(-x)=3x33x2-3x f(x)=3x-3x2-3x とすると X f'(x) f(x) 2-3 f'(x)=9x2-6x-3=3(3x²-2x-1)=3(3x+1)(x-1) したがって, f(x) の増減表は次のようになる。x=1のとき |y=-1±√5 2 + 9 3 0 極大 5 ...... T 1 0 + 2 極小 -3 よって、x=2で最大値 6, x=1で最小値-3 をとる。 PRACTICE…. 192 |基本 185 6 D = -3x²+4x+4 287 =-(3x+2)(x-2) | inf. (2) 最大値、最小値 をとるときのy, zの値は, そのときのxの値を ① に 代入して解けば得られる。 x=2のときy=z=-1 12-15 2 9 (複号同順) 「極値と端の値を比較。 <6,-3<--2 9 x,y,zはy+z=1, x2+y+z=1を満たす実数とする。 範囲を求めよ。 きのxの値を 6章 21 関数の値の変化

最後 ４の場合分けも理解できますが、なぜ2枚目のように X＝a,a+b が最大のときを考えないのか分かりません 教えて欲しいです

0000 286 191 区間全体が動く場合の最大・最小 重要例題 (-x-10x+17x+44 とする。 区間 asx Sa+3 におけるf(x)の 最大値を表す関数g (a) を、αの値の範囲によって求めよ。 CHARTO SOLUTION 解答 a グラフ利用 極値と端の値に注目 最大･最小 aの値が変わると 区間 a≦x≦a+3 が動く。 まず y=f(x)のグラフをかき､ 合分けをする。 注意すべき点は x>1 の場合にf(a)=f(a+3) となるαがあ 内にあるか 区間の両端の値f(a) とf (a+3) のどちらが大きいかに着目して場 ること。このαとxの大小によっても場合分けをしなくてはならない。 f'(x)=3x-20x+17=(x-1)(3x-17) f'(x)=0 とすると x=1, 増減表から, y=f(x)のグラフは右の図のようになる。 [1] a+ 3 <1 すなわち a<-2のとき g(a)=f(a+3)=(a+3)-10 (a+3)2 +17 (a+3)+44 =a³-a²-16a+32 [2] a+3≧1 かつ a < 1 すなわち -2≦a <1のとき g(a)=f(1)=52 ねこのときのみとする 整理すると 94²-33a-12=0 よって a≧1 から a=4 [3] 1≦a<4 のとき [4] 4≦a のとき [1] YA y=f(x); a+3 (3a+1)(a-4)=0 17 3 [2] a-10a²+17a+44=a-a²-16a+32(Say=f(a+3) ゆえに 52 Ay y=f(x)! a=- 1 a+3 17 3 Tap Apa 12 f'(x) + f(x) 極大 極小 a-3) g(a)=f(a)=a²-10a²+17a+44 g(a)=f(a+3)=a²-a²-16a+32 [3] y 13.DA 図や、 y=f(x) 1 y↑ 52 44 1 17 3 0 重要 例題 x,y,zはx+ (1) とり (2)x+y+2 y=f(x) 1 177 216 i a 17 3 47 [4] yy=f(x CHART 条件式 (1) yzt p. 702 a+3 47 X 解答 (1) 条件から ①から、 つの実数 D D≧0か これを角 実数 (2) (1) けの (2) ①か PRACTICE･･･ 1915 f(x)=2x-9x²+12x-2 とする。 区間 a≦x≦a+1 におけるf(x) の最大値を表 す関数 g (a) を,aの値の範囲によって求めよ。 f(x)= した "T PR