Question

りゅう

最後 ４の場合分けも理解できますが、なぜ2枚目のように
X＝a,a+b が最大のときを考えないのか分かりません

教えて欲しいです

0000
286
191 区間全体が動く場合の最大・最小
重要例題
(-x-10x+17x+44 とする。 区間 asx Sa+3 におけるf(x)の
最大値を表す関数g (a) を、αの値の範囲によって求めよ。
CHARTO SOLUTION
解答
a
グラフ利用 極値と端の値に注目
最大･最小
aの値が変わると 区間 a≦x≦a+3 が動く。 まず y=f(x)のグラフをかき､
合分けをする。 注意すべき点は x>1 の場合にf(a)=f(a+3) となるαがあ
内にあるか 区間の両端の値f(a) とf (a+3) のどちらが大きいかに着目して場
ること。このαとxの大小によっても場合分けをしなくてはならない。
f'(x)=3x-20x+17=(x-1)(3x-17)
f'(x)=0 とすると
x=1,
増減表から, y=f(x)のグラフは右の図のようになる。
[1] a+ 3 <1 すなわち a<-2のとき
g(a)=f(a+3)=(a+3)-10 (a+3)2 +17 (a+3)+44
=a³-a²-16a+32
[2] a+3≧1 かつ a < 1 すなわち -2≦a <1のとき
g(a)=f(1)=52
ねこのときのみとする
整理すると 94²-33a-12=0
よって
a≧1 から a=4
[3] 1≦a<4 のとき
[4] 4≦a のとき
[1]
YA y=f(x);
a+3
(3a+1)(a-4)=0
17
3
[2]
a-10a²+17a+44=a-a²-16a+32(Say=f(a+3)
ゆえに
52
Ay y=f(x)!
a=-
1 a+3 17
3
Tap Apa
12
f'(x) +
f(x) 極大 極小
a-3)
g(a)=f(a)=a²-10a²+17a+44
g(a)=f(a+3)=a²-a²-16a+32
[3] y
13.DA
図や、
y=f(x)
1
y↑
52
44
1
17
3
0
重要 例題
x,y,zはx+
(1) とり
(2)x+y+2
y=f(x)
1
177 216
i a
17
3
47
[4] yy=f(x
CHART
条件式
(1) yzt
p. 702
a+3
47 X
解答
(1) 条件から
①から、
つの実数
D
D≧0か
これを角
実数
(2) (1)
けの
(2) ①か
PRACTICE･･･ 1915
f(x)=2x-9x²+12x-2 とする。 区間 a≦x≦a+1 におけるf(x) の最大値を表
す関数 g (a) を,aの値の範囲によって求めよ。
f(x)=
した
"T
PR

[4]
tats
9601 = FIN = fra+2)
が最大値

Answer 1

✨ Best Answer ✨

甘味

x=a,a+3が最大値になるとき、対称性より定義域a≦x≦a+3の中心であるa+3/2が頂点になっていなければなりません。つまり、a+3/2=17/3、すなわちa=25/6(なぜならば、グラフより対称性を見出せるのはx=1またはx=17/3の前後の場合のいずれかであるが、x=1が定義域内にある場合、最大値は必ずf(1)になる。)とaの値が定まり、a+3=43/6であることより定義域は25/6≦x≦43/6となります。ここで、f(25/6)における微分係数は-57/4、f(43/6)における微分係数は111/4となり、これらの絶対値は異なることからx=17/3の前後においてこのグラフは対称性を持たないことがわかります。よって、f(a)≠f(a+3)が示されるので、そのような場合は考えません。

りゅう

疑問については解決出来ました！

もうひとつ知りたいことあって、
なぜa＞＝1とわかるのですか？
(−3分の1がダメな理由)がわからなかったです

甘味

x<1では、増減表より短調減少することがわかるので、a<-2の範囲ではf(a)≠f(a+3)となることは自明かと思われます。

りゅう

すみません、、どうゆうことでしょうか？

甘味

すみません、短調増加でした。x<1では常に微分係数が正であることからグラフは短調増加のグラフになっているため、同じy座標になるような2点は存在しないということです。

りゅう

普通に1より大きい部分でf（a）とf(a➕3)が等しくなってるから1より小さい数はおかしいよね？だから４だけしかaの値はないよね！？
ってことですか！？

甘味

うーんなんか惜しいです！笑
例えば直線である一次関数において、その一個の直線の中でy座標が同じになるような2点はあると思いますか？

りゅう

ないと思います

甘味

ですよね。それは何故かと言いますと、一次関数の傾きは常に一定であるからです。例えばy=2xのようなグラフ、これを微分するとその微分係数はy'=2となりこれはxの値によらず一定ですよね。このとき常に微分係数が正となるのでこのグラフは単調増加すると言います。つまり傾きがずっと右上がりになっているということです。逆にy=-2xのようなグラフは微分係数が常に負ですので短調減少、つまり傾きがずっと右下がりになっています。

このように考えると、この問題の解答にあるように、増減表のx<1の部分では微分係数が+(正)になっていますよね。つまりx<1の部分ではこのグラフは常に右肩上がりのグラフとなり、y座標が同じになるような2点は存在しません。

りゅう

ありがとうございました！！