基本 例題 68 対数微分法
tanx欠の関数を微分せよ。
(x+2)4
inx
3
1161)
y=
Vx2(x2+1)
0000
[(2) 岡山理科
(2) y=xx(x>0)
基本
ax+b/
指針 (1)右辺を指数の形で表し,y=(x+2)x3(x2+1) F3として微分することもできる
計算が大変。 このような複雑な積・商・累乗の形の関数の微分では,まず, 両辺(の
対値)の自然対数をとってから微分するとよい。
→積は和,商は差は倍となり,微分の計算がらくになる。
(2)(x)'=nxn-1 や (ax)'=axl0ga を思い出して,y=xxxx または
y'=x*logx とするのは誤り! (1) と同様に,まず両辺の自然対数をとる。
(x)}=
CHART
累乗の積と商で表された関数の微分 両辺の対数をとって微分す
とおく
辺正という保証がないからばりやり正にする
l
1
(1) 両辺の絶対値の自然対数をとって
x+2/
<lvl=3
+x |² (x²+1)
Og2
02 "答
10g|v|= 1/2/3{410g|x+2|-21og|x|-log(x2+1)}
3
=2f
1
4
2
2x
両辺をxで微分して
3 x+2
x
x2+1
とお
ある
よって
として両辺の自然対数
る (対数の真数は正)。
なお,常に x 2 +1> 0
対数の性質
g20
y' =
3
4x(x2+1)-2(x+2)(x2+1)-2x2(x+2)
(x+2)x(x2+1)
1-2(4x2-x+2).
3
=
•
•
(x+2)
4
3(x+2)x(x2+1) Vx2(x2+1)
2 (4x²-x+2)
x+2
•y.
10gaMN=10ga M+10g
M
loga =logaM-10ga
N
10gaM=kloga M
(a>0, a = 1, M>0, N
