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7 実数解の個数 定数項以外に文字定数 -
(1) f(x) の導関数をf(x) とする. 』 の方程式f'(x)=0が実数解をもつようなaの範囲を求
関数f(x) = ar3-(a+3)x+a+3について,次の問いに答えよ.ただし,αは0でない実数とする。
め,またそのときの実数解をすべて求めよ.
(2) xの方程式f(x)=0が3個の異なる実数解をもつようなaの範囲を求めよ.
x² =
Bで極値を持つとき,
f(x) f (B)の正負で解の個数がわかる
f(α) f (B)が,正. 0. 負のどれであるかによって, f(x)=0.･････ ① の解の個数が分かる.
(i) f(α)f(B) <0⇔f(α) f(β) は異符号 〔f (α) f(B) <0なら, α = B]
(ii) f(a)f(B)=0⇔f(α)=0 またはf (B) = 0
(ii) f(a)f(B)>0⇔f(α)とf (B)は同符号
であることに注意すれば,(i)(i)のグラフは,(f(z)の3の係数が正とする)
(iii)
(ii)
"NiNifi diff
α
(i)
a
a +3
3a
解答量
(1) f'(x)=3ar²- (a+3) であり, a≠0, f'(x)=0 より,
右辺が非負のとき, x=±
(=±y) とおく.
となる.実数解の個数は, グラフとx軸の共有点の個数なので、 ①の実数解は.
(i) のとき3個 (i) のとき2個
() のとき1個
3次関数y=f(x)が,r=α,
a +3
3a
a +3
-≧0. この左辺は,α= 0, -3の前後で符号変化し,α≦- 3,0<a
130
pri
α
(2) ① が成り立たなければならないから,以下 ① の下で考える.
f(x)=0が3個の異なる実数解を持つ⇔f(y)f(-x) <0
= y² <0 =
x
2
f(x)をf(x) で割ると, 商 1/13,余り/1/(a+3)x+a+3 となるので
f(x)=1/13xf (s) - 1/2 (a+3)x+a+3.これにェ=yを代入して,
f(x)=}{xf'(x)= {} (a+3)x+a+3=(−²/7y+1)(a+3)
同様にして, S(-x)=(1/2y+1)(a+3)
⇔1-
4 a +3
9 3a
S(y)(y)=(-2y+1)(77+1)(a+3)=(1-6×2)(a+3) 2
a=-3のときf(y) f(-y) =0で不適であり, (a+3)2>0 に注意すると,
f(x)f(-x)<0
<O ⇔
a
23a-12
27 a
<00<a<
12
左辺は,a>0のとき正なので、
0>α>-3のときは負, -3>』
のときは正となる.
-3 0
(宮城教大)
f(x)f(-x)<0ならば,
キーなので, x=x,yで極
値を持つ .
f(x)=0
0
p.14 で紹介した「次数下げ」
x
4
12
23
