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Mathematics Senior High

(1)cosの求め方を教えてください (2)正弦定理使えますか?

重要 例題 141 四面体上の折れ線の最小値 11 四面体 ABCD があり, AB=BC=CA=8, AD=7 である。 COS ∠CAD= のとき、次のものを求めよ。 14 (1) 辺 CD の長さ 000 (2) ∠ACD の大きさ 基本 121,137 (3) 辺 AC上の点Eに対して, BE+ED の最小値 CHART & THINKING (1) (2) 辺 CD, ∠ACD 空間の問題 平面図形 (三角形) を取り出す を含むのは ACD (1), (2) 求めるものを含む三角形はどれかを 見極めよう。 A (3) 空間のままでは考えにくい。 △ABCと △ACDを1つの平面上に広げ, 平面図形と して考えよう。 E ⇒ B< D PE B (3) 辺 AC の D C まわりに広げる C 解答 (1) ACD において, 余弦定理により CD2=7+82-2・7・8cos∠CAD=25 CD> 0 であるから CD=5 (2) ACD に余弦定理を適用して A ( COS∠CAD= 11 8. 8 S)xS D B 82+52-72 COS ∠ACD= 8 2.8.5 2 C よって ∠ACD=60° 14 E A 1 (3) 右の図のように,平面上の四角 ← 四面体 ABCD の側面 8 形ABCD について考える。 7 3点B, E, D が1つの直線上に あるとき, BE+ED は最小になる。 よって, BCD において, 余弦 定理により B △ABC, △ACD を平面 上に広げる。 1 E D 8 60°60° 最短経路は展開図で 2 120°- 50 点を結ぶ線分になる。 C BD2=82+52-2・8・5cos <BCD=129 BD> 0 であるから BD=√129 <+2BCD = ∠ACB + ∠ACD=120° したがって, 求める最小値は √129 1 cos 120°--- 2 NFORMATION 折れ線の長さの最小値 3)BE+ED は折れ線の長さと考えられる。この長さは, 折れ線がまっすぐに伸び して線分になるとき最小となる。 2点間の距離の最小値は, 2点を結ぶ線分の長さ ACTICE 141 ■の長さがαの正四面体 OABCにおいて,辺AB, BC, OC それぞれ点P,Q,Rをとる。 頂点から,P,Q,R の順 点を通り、頂点Aに至る最短経路の長さを求めよ。うら 0 A P Q 1 R 11

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Mathematics Senior High

どうしてこれで等式になるのでしょうか、?

補充 例題 129 三角形に関する等式の証明 とき、 の二等分線と辺 めよ。 基本 120 121 △ABCにおいて,次の等式が成り立つことを証明せよ。 (1) asin Asin C+bsin BsinC=c(sin' A+sin*B) (2) a(bcos C-ccosB)=b-c CHART & SOLUTION (1) p.194 基本事項 1.2| 三角形の辺や角の等式 辺だけの関係に直す 利用して、(2)で に代入する。 等式の証明はか.178 INFORMATION の1~3の方法がある。 (1) はるの方法,(2)は1の方 法で証明しよう。 (1) 正弦定理から導かれる sinA= 2R など (Rは外接円の半径)を, 左辺と右辺それぞれ (2)余弦定理から導かれる cos C= a2+62-2 などを左辺に代入する。 2ab 解答 A (1)△ABC の外接円の半径をRとすると,正弦定理により asin Asin C+bsin Bsin C A:AE b 4R2 C AD // EC と したがって, 与えられた等式は成り立つ。 EC=∠BAD 別解 ACE から よって (左辺) =2Rsin' Asin C+2Rsin Bsin C =2R sin C(sin2A+sin2B) △ABCの外接円の半径をR とすると, 正弦定理により a=2RsinA, 6=2RsinB,c=2RsinC a c =a° 2R 2R 2R 2R ={(2R)²+(20 = c(a²+b²) c(sin'A+sin°B)={(2x) b C c(a2+62) 4R2 辺だけの関係に直す a sin A= 2R' b sin B= 2R' =c(sin'A+sin'B)=(右辺) sin C=T 2 を代入 2R inf. 別解では,角だ 関係に直してうまくし が、数学の範囲で b c を sinAなどの けの関係に直しても 後の変形の知識が不 B:AC

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English Senior High

黄色線のhis business が 干渉しないよう という意味になるんですか😵‍💫

3,000 animated characters. 2 Blanc was born on May 30, 1908, in San Francisco, California. However, when he was a child, his family moved to Portland, Oregon, where he attended 問1の正解の根拠 ~へ引っ越した 〜に通った school. When he was young, a game he used to play by himself was to look at, よくしたものだ 一人で for example, a bird, and try to imagine what it would sound like if it could talk. Then, he would try to make the voice that he had imagined. 問1の正解の根拠 ~を集めた 問1の正解の根拠 3 In 1927, Blanc began working for a daily radio program. There, because the sponsors could not afford to hire more actors, Blanc used his own voice for many of the show's characters. After that, he moved to Los Angeles, California, where he joined Leon Schlesinger Productions, an animation studio that had assembled some of the greatest voice actors of the time. This company did the work for Warner Brothers, which developed the cartoons that made Blanc rotair lo subiq soloqu na diw envoys abiyong liw 4 Without a doubt, Blanc's most famous voice is that of Bugs Bunny, the star of the Warner Brothers animated line-up since 1940. Blanc not only provided Bugs Bunny a voice, but also a personality and his famous catch-phrase, "What's up, doc?" The team involved in creating Bugs was very careful about famous. 〜に関わった 問3の正解の根拠 giving him a personality that would be popular for everyone. They decided that Bugs would not be an unkind character; he would just always be peacefully minding his business until someone started trying to hurt him or make him do something he did not want to do. Then, he would fight back. Blanc was very JAKE 問3の正解の根拠 proud of Bugs and thought that the character could be a role model. He said, "Bugs does what most people would like to do but don't have the guts to do." 問2の正解の根拠 5 By the 1940s, Blanc was providing the voices for more than 90 percent of the Warner Brothers cartoon characters. To put that in perspective, from 1940 to 1959, Warner Brothers released almost provided about 540 voices during that time. それを総体的に見ると 600 cartoons. That means Blanc Through this time Blanc appeared on many radio and television programs. He provided the voices for the most 問1の正解の根拠 lovable side characters on extremely popular programs of those days. Then, in the 1960s, he voiced some of the characters in "The Flintstones," the first -126- 生 H

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Mathematics Senior High

この問題なのですが、2つの方程式を2つの関数だと考えてこれの共有点が1つと考えてはいけないのでしょうか。

136 重要 例題 81 方程式の共通解 00000 2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数 解をもつように,定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 CHART & SOLUTION 方程式の共通解 共通解を x=α として方程式に代入 基本77 2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式にx=α を代入した 20²+ka+4= 0, a2+α+k=0が成り立つ。 これをα, kについての連立方程式とみて解く。 「実数解」という 条件にも注意。 解答 共通解を x =α とすると 2a2+ka+4=0 ... ①, a2+α+k=0 ①-② ×2 から (k-2)α+4-2k=0 x=αを代入した①と ②の連立方程式を解く。 α2 の項を消す。 すなわち (k-2)a-2(k-2)=0 よって (k-2)(a-2)=0 ゆえに k=2 または α=2 [1] k=2のとき 2つの方程式は, ともに x2+x+2= 0 ・・③ となる。 その判別式をDとすると D=12-4・1・2=-7 D< 0 であるから, ③ は実数解をもたない。 共通の実数解が存在する ための必要条件であるか ら, 逆を調べ, 十分条件 であることを確かめる。 ←ax2+bx+c=0 の判別 式は D=62-4ac よって, k=2 は適さない。 [2] α=2のとき ②から 22+2+k=0 よって k=-6 がわか をかくにん このとき2つの方程式は 2x2-6x+4=0 ... D', となり, ①'の解は x=1, 2 よって、確かにただ1つの共通の実数解 x=2 をもつ。 [1] [2] から k=-6, 共通解はx=2 x²+x-6=0 ...... ・②' 2(x-1)(x-2)=0, ②' の解は x=2, -3 (x-2)(x+3)=0 INFORMATION この例題の場合, 連立方程式 ①,②を解くために,次数を下げる方針でαの項を消 去したが,この方針がいつも最も有効とは限らない。 下のPRACTICE 81 の場合は, 定数項を消去する方針の方が有効である。 PRACTICE 810

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Mathematics Senior High

接点の数=接線の本数というのは分かったのですが、①の式とaの交点が接線の数を表す理由が分かりません

y=2(x-1) 312 重要 例題 200 3次関数のグラフに引ける接線の本数 曲線 C:y=x-9x2+15x-7 に対して, y軸上の点A(0, α) から相異なる 3本の接線を引くことができるように, 実数αの値の範囲を定めよ。 CHART & SOLUTION 3次関数のグラフの接線 接点が異なると、 接線が異なる [ 日本歯大) 基本 175 したがって、(接点の個数)=(接線の本数)が成立する。 (次ページの 曲線上の点(1-912+151-7) における接線が点A(0, α) を通る。 → 接線の方程式に (0, α) を代入してf(t) =α の形にする。 INFORMATION →曲線 y=f(t) は固定し, 直線 y=αを動かし, 曲線と直線の共有点について調べる。 解答 y=x-9x2+15x-7 から y'=3x²-18x+15 曲線C上の点(t, パー9t2+15t-7) における接線の方程式は y-(-9t2+15t-7)=(3t-18t+15)(x-t) すなわち y=(3t-18t+15)x-213+912-7 この直線が点A(0, α) を通るとき -213+912-7=a ...... ① 3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も異なる。 ゆえに,tの3次方程式 ① が異なる3つの実数解をもつとき, 点Aから曲線に3本の接線が引ける。 定数αを分離。 この断り書きは重要 ここで,f(t)=-213+9t2-7 とすると f'(t)=-6t2+18t y =-6t(t-3) 20 y=20 f(t) の増減表は次のようになる。 a y=a t 0 ... 3 ... 0 f'(t) - 0 + 0 3 t f(t)=αの実数解の I y=f(t),y=a の共産 f(t) \ 極小 -7 > 極大 y=-7 点の個数 20 y=f(t) よって, y=f(t) のグラフは上の図のようになる。 ④①の異なる実数解の個数, すなわち y=f(t)のグラフと直 線 y=a の共有点の個数が3となるようなαの値の範囲は -7<a<20 Lint. Cに引ける接線の本数は a=-7,20のとき2本; a<-7,20 <αのとき1本 である。 C上の接点の個数 I C引ける接線の

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Mathematics Senior High

2番ってこれ以外にやり方はありませんか?

重要 例題 62 ベイズの定理 3つの箱 A, B, C には, それぞれに黒玉, 白玉,赤玉 が入っている。 それらの個数は右の表の通りである。 無作為に1つの箱を選び, 玉を1つ取り出す。このと き、次の確率を求めよ。 (1) 取り出した玉が黒玉である確率 (2)取り出した玉が黒玉のときに,それが箱Aから取 り出された確率 黒玉 A B C 5 7 2 白玉 20 17 22 赤玉 1560 24 [学習院大 ] 基本 57 CHART & SOLUTION (2) Aの箱を選ぶという事象をA, 黒玉を取り出すという事象をK とすると, 求める確率は, 事象Kが起こったときの, 事象Aが起こる 条件付き確率 Pr(A) である。 [S] 解答 本 箱 A, B, C を選ぶという事象を, それぞれ A, B, Cとし, (1) 1つの箱を選ぶ確率は 黒玉を1個取り出すという事象をKとする。 (1) P(K)=P(A∩K) +P (BK)+P (C∩K) =P(A)PA(K)+P (B)PB (K)+P (C)P(K) 1 5 1 7 1 2 + × + × 3 40 3 84 3 1/3であ 12 であり,玉の総数は A: 40, B:84,C:48 IMA 乗法定理を利用。 1/1 1 + + 1 1 I 38 12 24 12 (2) 取り出した玉が黒玉 ・・結果 P(A∩K)__ (2) 求める確率は Pr(A)= P(K) 24 12 2 それが箱から取り出さ れていた ・・・原因 08 08 INFORMATION ベイズの定理 基本例題 57 において, B=A とおくと PE(A)=- P(A)PA(E)丁目 C KAK BOK COK P(A)PA(E)+P(A)P(E) が成り立つ。 また, 重要例題 62においても PÂ(A)= P(A)P₁(K)+P(B)PB(K)+P(C)Pc(K) P(A)PA (K) E が成り立つ。これらの式をベイズの定理という。 =(8)

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