問
56 複素数列と極限
次の問いに答えよ.
(1)=1, w=1w(n=1,2,3,...)をみたす数列 (10)につい
て,wn nで表し,n→∞ のとき, wm
が近づく点を求めよ.
1+i
(2) z=1+2i, 2n+1=-
-zn+1+i (n=1, 2, 3, ...) をみたす数列
が近づく点を求め
精講
2
{zm} について, 2nnで表し, n→∞ のとき, zn
55(2)と同じ形の漸化式なので, wn はすぐに求まりますが, 極限は
実数と虚数で同じように考えてよいのでしょうか?
複素数 xn+yni (In, yn: 実数)は点(xn, yn) と対応していることか
W=In+ymi において, In→α, yn→β(n→∞) ならば,wn→a+Bi
(n→∞) と考えられます。
だから,複素数列の極限は,wn=πn+yni とおけば、2つの実数の数列 (
{y} の極限を考えることと同じです.しかし,こうすると2つの数列{cm)
{ym} を考えることになり時間が2倍かかります.そこで,この基礎問を通して
{wn}のまま処理して, n→∞のとき, wm の近づく点を求めることを学びまし
ょう。
解答
(1) 数列 {wm} は,初1,公
1+i
の等比数列だから,
n-1
Wn=1.
n-1
2
ここで,
+
4 4
n→∞のとき,wnl →0
すなわち, n→∞ のとき wn は原点に近づく.
\n-1
=
2
だから、120ml=1
