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重要 例 17 等差数列と等比数列の共通項
00000
数列{an}, {bm} の一般項をan=3n-1, bm=2" とする。 数列{bm} の項のうち,
数列{an} の項でもあるものを小さい方から並べて数列{cm} を作るとき, 数列
{c} の一般項を求めよ。
・重要 10 基本 16
1
指針 2つの等差数列の共通な項の問題 (例題10) と同じように,まず, a=bmとして,しと
mの関係を調べるが,それだけでは (cm) の一般項を求めることができない。
そこで, 数列{an}, {bn} の項を書き出してみると,次のようになる。
1
(an): 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32,
{6}:2,4,8,16,32,
......
を順に調べ,
Ci=bi, C2=bs, C3=bs となっていることから, 数列{bm} を基準として, bm+1が数列
{a}の項となるかどうか, bm+2 が数列{a} の項となるかどうか,
規則性を見つける。
α1=2, b1=2であるから
C1=2
解答 数列{a}の第1項が数列{bm} の第項に等しいとする
章
2等比数列
検討
と
3l-1=2"
ゆえに
bm+1=2m+1=2m2=(3-1)・2
=3.27-2
......
①
よって, bm+1 は数列{an} の項ではない。
<30-1 の形にならない。
①から bm+2=26m+1=3.4l-4
=3(4-1)-1
3(2-3)-1
ゆえに, bm+2 は数列{a} の項である。
したがって {C}:b1,63,6s,
数列 {c} は公比22の等比数列で, C1=2であるから
Cn=2(22)-1=22n-1
4"
Cn=
などと答えてもよ
い。
合同式(チャート式基礎からの数学A 参照)を用いた解答
3n-1=-1=2(mod3) であるから, 2 =2(mod3) となるmについて考える。
[1] =2n(nは自然数) とすると
22n=4"=1"≡1(mod3)
[2]m=2n-1 (nは自然数) とすると
22-122(n-1).2=4"-1.2=1"-1.22(mod3)
[1], [2] より,m=2n-1 (nは自然数) のとき 2” が数列{c} の項になるから
Cn=bzn-1=22n-1
練習 数列{a}, {6}の一般項をan=15n-2, bn=7.2"-1 とする。 数列{bm} の項のうち,
17 数列{an} の項でもあるものを小さい方から並べて数列{c} を作るとき, 数列{c}
の一般項を求めよ。
