−１ってどこから出てきたんですか。教えてください。

55 次の和を求めよ。 (1) 3.2+6·3+9·4+...... +3n(n+1) 1・1+2・3+3・5+... +n(2n-1) (2) → p.27 例題 8 答 (1)これは,第k項が3k(k+1) である数列の, 初項から第n項までの和である。 よって, 求める和は k=1 3k(k+1)=3Σ (k² + k)=3(k² + k = 3 (Σ k² + k) +2) \k=1 k=1 k=1 =31/1/" 1/12m(n+1)} = 3. -n(n+1)(2n+1) + 1/11n( n(n+1){(2n+ 1) + 3} =/1/12m(n+ -n(n+1)(2n+4)=n(n+1)(n+2) (2)これは,第k項がk(2k-1) である数列の, 初項から第n項までの和である。 よって, 求める和は n k(2k-1)=(2k² - k) = 2 k² - k 詳解 k=1 k=1 k=1 k=1 = 2.1mm( 1 n(n+1)2n+1) / n(n+1) 2 =1/" == -n(n+1){2(2n+1)-3} n(n+1)(4n-1)

184の1問目の解説をお願いしたいです! 解説見てもわかりませんでした…

181 次の2次方程式の x²+4x+1-0 (4) 9.x +24x+16=0 (2) x24 (5) 2x-3x+2=0 *(6) x+3mg 182 次の2次方程式の解がそれぞれ[ ]内の条件を満たすとき,定数moy この範囲を求めよ。 (1)x2+4x+m=0 [異なる2つの実数解をもつ] [実数解をもたない] (2)3xx+m=0 (3)2x'+x-m+1=0 [実数解をもつ ] p. 104 例題26 (考え方) 1183 次の2次方程式が重解をもつとき, 定数の値を求めよ。 また、そのときの 重解を求めよ。 (1)x'+2x+m-3=0 *(3) *+(m+2)x+m-1=0 (2)x2+4mx+25=0 p.104 184 次の2次方程式がそれぞれ[ また、そのときの他の解も求めよ。 (1)x+mx-m+3=0 [x=5] (2)3x²-2mx-m²=0 [x=1] ]内の解をもつとき,定数の値を求めよ。 (3)x-3(m+1)x+m²-2=0 [x=-1] 1185 2次方程式x2+αx+a-b=0の解が2と3であるとき,定数a, b の値を 求めよ。 186 2次方程式2-1=0の2つの解のうちの大きい方をαとするとき、 22-34+1の値を求めよ。

1/3＝0.33・・と分かるのですが何故右に2、左に３なんですか？😭 右に3左に2はダメなんですか？教えてください 垂直線の所です

重要 例題 3 不等式の整数解 x-1/38/1/23 不等式を満たす整数xは ア個ある。ロ 1 数と式、集合と命題 また,a>0 のとき, 不等式 x- 1/31 <aを満たす整数xが5個であるようなα の値の範囲は <a≤ ウ I オ である。 POINT! 不等式の解数直線上で考える。 CASTL XC > 解答 x1/3/1/2から -1/23x1/11/23 A 0 のとき |X|<A-A<X<A 各辺に1を加えて を加えて4<x< 1/4 基 4 3 これを満たす整数xは-3,-2,-101,2,3,4の8個-4は含まないことに注意。 また,x/12/31<aからa<x- / <a 1 3 各辺に 1/3 を加えて 1 -a+ a+ 1/1 < x < a + 1/1 & L 3 これを満たす整数xが5個であ るのは, 右の数直線のようになる ときである。 ないのがポイント。 a を中心に両側にαずつ -3 -2 -1 0 1 2 3 x 1 -a 3 -13 よって-31-a<-2 ① 2<- かつ 21/23tas3 ② ①から-3-1/s-a<-2-13 +3 ・+α -24-304 なぜ の間にあり, 0に近いから, の左側に3つ (0, -1, 2), 右側に2つ (12) 整数を含むことになる。 3 のびている。 0と1 83 7 ゆえに 1/4 <as 1/10 ③ <a≤ 3 3 2 53 ② から 2-1/31 <as3-1/18 ゆえに <os イク ③ かつ④から kas 3 18 3 55-3 (C) 83 073 CHART 10 X 数直線を利用 4 3

オレンジの線のa<0という意味が分かりせん。教えてください。

本 例題 90 2次不等式の解から係数決定 00000 (1) xについての2次不等式x+ax+b=0の解がx=-1,3≦xとなる ように, 定数 α, bの値を定めよ。 (2)についての2次不等式 ax²-2x+b>0の解が2<x<1となるよ うに,定数α, bの値を定めよ。 CHART & SOLUTION 2次不等式の解から係数決定 2次関数のグラフから読み取る (1) y=x2+ax+b のグラフが x≦1,3≦x のときだけ軸を含む上側にある。 ⇔下に凸の放物線で2点 (-10) (30) 通る。 (2) y=ax²-2x+b のグラフが-2<x<1のときだけx軸の上側にある。 ⇔上に凸の放物線で2点 (-2, 0, 1, 0) を通る。 解答 (1) 条件から, 2次関数 y=x2+ax+b のグラフは,x≦-1, 3≦x のときだ けx軸を含む上側にある。 すなわち, 下に凸の放物線で2点 (10)(30) を通るから 13 基本 87 1-a+6=0, 9+3a+b=0 これを解いて a=-2,b=-3 (2)条件から, 2次関数y=ax²-2x+b のグラフは,-2<x<1のときだけx 軸の上側にある。 すなわち, 上に凸の放物線で2点 (-20) (10) を通るから a<0. 0 = 4a+4+6 ① 0=a-2+6 ② ① ② を解いて a=-2,6=4 これは α<0 を満たす。 1 別解 (1) x13≦xを 解とする2次不等式の1つ は (x+1)(x-3)≧0 左辺を展開して x²-2x-3≧0 x2の係数は1であるから x2+ax+b≧0 の係数と」 較して α=-2,b=-3 lint. 2つの2次不等式 ax2+bx+c<0と a'x + b'x+c<0 の解 等しいからといって直 にa=d', b=b',c=d とするのは誤りである。 対応する3つの係数の X 少なくとも1つが等し きに限って、残りの係 等しいといえる。例え c=cであるならば、 a=d', b=b'といえ

内接する場合のとこで、写真の赤線のとこの式で√10から始まっていますが、3枚目のように逆ではダメなのですか？なぜ√10の方が半径が大きいとわかるのですか？よろしくお願いします🙇‍♂️

考え方 Check] 例題 98 2 円の位置関係 2 円の方程式 181 ** 次の2円が接するように, 定数αの値を定めよ. x2+y2-2ax-6ay+40a-50=0 ... ① x2+y^-100 ...... ② 2つの円の半径を1, 2, 2つの円の中心間の距離をdとすると, 2円の位置関係は, (i) 離れてい (ii) 外接する (2点で交 る わる (iv) 内接する (v) 一方が他方 の内部にある GOGO d d>ri+ra TI d=r+rz |n-ml<d<nitrd=|ri-r2| d<|r-rz|

なんでこれからこれになるのでしょうか

0000 324 基本 例題 207 定積分を含む関数(定数型) 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ。 (1)f(x)=3x-x+S_f(t)dt (2) f(x)=2x2+1+Jxf(t)at CHART & SOLUTION p.320 基本事項 3.基本 定積分の扱い Sof(t) dt は定数文字でおき換え 定積分を計算しようとしても, f(t)は不明なので,直接計算することができない。 Sf(t) dt は定数であることに着目する。 (1)Sf(t)dt=a(定数) とおくと,f(x)=3x-x+αと表されるから, St-t+a)dt=aである。この定積分を計算してαの値を求める。 (2) Sxf(t)dt→ xtに無関係で定数xff(t)dt (1) と同様に処理。 そこで S_f(t)dt=a とおくと f(x)=3x²-x+a t S_f(t)dt の値はわから よってSf(t)dt=S(312-t+a)dt ないが、定数である。 =2f(312+a)dt 2 =2[at]=2(1+α) 奇数 0 ゆえに 2 (1+α)=a よって a=-2 したがって f(x)=3x²-x-2 (2)f(t) dt=a とおくと f(x)=2x2+ax+1 よってS's(n)=S,(2p+at+1)=1/2/31+1/21+10 ゆえに 1/24 1/2=4 a 5 + Fa 3 よってa=10 Sexf(t)dt のxは、 変数 tに無関係である から,定数として扱う。 すなわち Sxs(tat=x$sta したがって f(x)=2x²+10x+1 PRACTICE 207Ⓡ 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ。 (1) f(x)=2x²+xff(t)dt (2) 基本 (1) (2) CHA 定 S (2) fore (1 (2

(1)黒で丸で囲った所が分からないです😭 なぜ、x＋2＋16/x＋2−2が出てくるのですか？ あと、「ゆえに」にのところ6じゃなくて8じゃないんですか？どこから6って出てきたんですか？

重要 例題 32 (相加平均) (相乗平均) と最大 最小 16 x+2 (1) x>0 のとき, x+ の最小値を求めよ。について。 =x=y しい不 (2)x0,y0 とする。(3x+2y) (2+ 2 ) の最小値を求めよ。 y 16 い。 指針▷ 最小値であるから, (1) であれば, x+- O ① となる□を 寿号成 ********* きは必 よって、例題31と同様に (相加平均) (相乗平均) を利用して、 不 つもりで考える。 (1)では、2つの項の積が定数となるように, 「x+2」 の項を作り出す。 (2)では,式を展開すると, 積が定数となる2つの項が現れる。 x+2 この中 解答 (1) x+ 16 ☆x+2+ x+2 16 x+2 22 なんで 立条 x>0より x+2 0 であるから, (相加平均) ≧ (相乗平均) に 16 より x+2+ 16 x+2=2 ≧2(x+2) =2.4=8 x+2 16 ゆえに x+ 6 x+2 等号が成り立つのは, x+2= 16 なぜになるの のときである。 x+2 このとき (x+2)'=16 x+2>0であるから x=2 16 x+2= かつ x+2 したがって x=2のとき最小値 6 16 x+2+ =8 3 26x 6yclx y x+2 1

BC：EFなのは、唯一ここだけが分かるからで合ってますか？

例題図で, △ABC∽△DEFです。 次の値を求めよう。 B 3cm 53 37 5cm 3.600 D (1) 辺DEの長さ AB DE BC EF •c 3: x = 5:6 3:x=5 1.21th 4.8cm 5x=18 x=3, 6(C (2) 辺ACの長さ/ ACDF BCEF Y:4 E F 6cm

(1)ここが本当に本当にわかんないです。😭 毎回解く時、P＝abc−(ab＋bc＋ca)＋(a＋b＋c)−1が出てこないです😭 途中式あれば教えてください😭

0 ことは、各日 重要 例題 25 少なくとも~ すべての~の証明 α, b, は実数とする。 0000045 〇ではない 基本23 33 しばな る。 とおく (1) abc=1, a+b+c=ab+bc+ca のとき, a, b, cのうち少なくとも1つは1 であることを証明せよ。 Beb (2) a+b+c=ab+bc+ca=3のとき, a, b, cはすべて1であることを証明せよ。 指針 まず、結論を式で表すことを考えると、次のようになる。 (1) a, b, c のうち少なくとも1つは1である こなっ 辺 すると が多 た a-1または6=1 またはc-1 こういう式 で 結論 (a-1)(6-1) (c-1)=0 大 (2) a,b,cはすべて1であるα=1 かつ 6=1 かつ=1 ⇔a-1=0 かつ 6-1=0 かつ c1=0 ⇔ (a-1)+(6-1)+(c-1)=0 ⇔a=1=0 または 6-1=0 または c1=0 1 ゆでてくるのか ********* Cls よって、条件式から,これらの式を導くことを考える。 このように, 結論から方針を立て 大ることは、証明に限らず、多くの場面で有効な考え方である。 このうちどれかが 結論からお迎えに行く であれば X=1となる CHART 証明の問題 結論から お迎えに行く 10 ら 解答 P=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1 【大工〕 P=1-(a+b+c)+(a+b+c)-1=0 る。 (1) P= (a-1) (6-1) (c-1) とすると abc=1とa+b+c=ab+bc+ca を代入すると よって α-1=0 または 6-1=0 または c-1=0 したがって, a, b, c のうち少なくとも1つは1である。 (2)=(a-1)+(6-1)+(c-1) とすると +d+Q=a²+b²+c²-2(a+b+c)+3 ここで, (a+b+c)2=a2+b2+c+2(ab+bc+ca) であるから [火a'+b2+c2=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)=3°-2・3=3 ゆえに Q=3-2・3+3=0 よって α-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0 したがって, a, b, cはすべて1である。 ABC = 0 ⇔A = 0 または B = 0 またはC=0 6+0 (1) R A'+B'+C2=0 ⇔A=B=C=0

相加・相乗平均使わなきゃ！って頭になれないのですが、どういう場合に相加・相乗平均を使うのでしょうか？

240 重要 例題 150 指数関数の最大・最小 (2) 開 y=9*+9-x-31+31 +2 について (1) t=3* +3 x とおいて,yをtの式で表せ。 (2)yの最小値と,そのときのxの値を求めよ。 CHART & SOLUTION astaxata の関数の最大・最小 おき換え [a*+αx=t] でもの関数へ 変域に注意 (1)x2+y=(x+y)²-2xy を利用して, 9 +9-x を tで表す。 基本 144 1 (2)tの変域は,30,30 であるから, (相加平均)≧(相乗平均) を利用して求めるこ とができる。 yはtの2次式で表され, 2次関数の最大・最小の問題に帰着。 (1) y=9*+9x-(31+x+31-x) +2 ここで 重要 4x-a の値の CHAL 指数 おき 2x=t 正の姿 から, 数学 9x+9-x=(3*)2+(3-x)2=(3+3-x)2-2・3・3-x a²+a² 2x= =(3+3-x)2-2=f2-2 31+x+31-x=3(3x+3-x) =3t よって y=t-2-3t+2 ① (2)30,3x>0 であるから,相加平均と相乗平均の大小 関係により積一定 和の最小(最大)を ゆえに y=t2-3t (1)の求めるときに使用 =(a+a12-200 4x= =(a+a12-2 ①C t> t> t> (相加平均) ≧ (相乗平均 ゆ a>0,6>0 のとき 3*+3-x=2√3% 3 = 2 すなわち t≧2 a+b ② 等号は,3=3* すなわち x = - x から x=0のとき成 り立つ。 2 a=b のとき等号成立 [1 ①から 32 ≧2 の範囲において, yは t=2 で最小値 -2をとる。 [2 y=f2-3t (t≧2) 2次式は基本形に変 [3 inf. t=3*+3* のグラ 3 t=3+3 22 t t=2のとき, ② から x = 0 よって, yは x=0で最小値-2 をとる。 PRACTICE 150Ⓡ y=22x+2-2x-3(2x+2m)| (1) 最小 g 301 t=3 F=3+ F