この(1)の解説にある赤点線の部分はどういう意味なんですか？？ お願いします🤲

例題 176 極値をもつ条件 次の関数が極値をもつような定数aの値の範囲を求めよ。 x-a (1) f(x)= (ただし, a ≠±1) 2-1 (2) f(x) = (logx)2-2ax (ただし, a>0) 思考プロセス 定義に戻る f(x) が微分可能のとき (f'(a) = 0 となるx=α が存在し,) その前後でf'(x) の符号が変わる 2 (logx-ax) (2) f'(x)= x の部分は定義域内で符号が一定なので の部分に着目して考える。 符号が分からない Action》 f(x) が極値をもつときは,f'(x)=0 の解の前後で符号が変わるとせよ f(x) が極値をもつ (1) f'(x)=x+2ax-1 (x² - 1)² 式を分ける 解 (1) この関数の定義域は x キ±1 f'(x)= (x²-1)-(x-a). 2x (x² − 1)²) 関数 f(x) が極値をもつための条件は、 f'(x)=0 が実 数解をもち、その実数解の前後でf(x) の符号が変わる ことである。 よって, (x2-1)2>0 であるから, 2次方程式 ... =x2+2ax-1=0 ･･･ ① は少なくとも1つが±1でない, 異なる2つの実数解をもつ。 ① の判別式をDとすると D>0 D 4 = α-1 より a²-1>0 (a+1)(a-1) > 0 の符号を考える。 x2+2ax-1 (x2-1)2 1 ゆえに a<-1, 1 <a ここで、①が2つの実数解 x = ±1 をもつとすると 1+2a-1=0 かつ -1-2a-1=0 であり,これを満たすα は存在しない。 (1) したがって 求めるαの値の範囲は (2) この関数の定義域は x>0 2(logx-ax) -2a= f'(x) = 2(logx)・ x x 関数 f(x) が極値をもつための条件は,f'(x)=0 が実 数解をもち,その実数解の前後でf'(x) の符号が変わる ことである。 よって, g(x)=logx-ax とおくと, g(x) = 0 は実数解 をもち,その実数解の前後で g(x) の符号が変わる。 a<-1, 1<a 分母=x≠0 より x キ±1 (f'(x) の分母)>0 より, f'(x) の分子の符号を考 える。 y=-x2+2ax-1 x f'(x) は x = ±1 にお いて存在しないから, ① の解がx = ±1 のとき f'(x) = 0 は解をもたな ①の2解がx = ±1 とならないことを確かめ 定義域においてf'(x)の 分母は正であるから, 分

これがどうしてもわからないです。 なぜa＝0を確かめてるのですか？

182 極値から係数決定 基本例題 f(x)=x+ax² - 3x + b とする。 f(x) は x=1で極小になり, x = c で極 181 大値5をとる。 定数a,b,cの値とf(x)の極小値をそれぞれ求めよ。 Sc COLUTION f(α) が極値⇒f'(a) =0 (必要条件) CHART 解答 f(x)がx=1で極小になる→f'(1) = 0 f(x)がx=cで極大値5をとる→f'(c) = 0, f(c)=5 ただし,f'(1)=0,f'(c)=0 であるからといって, x=1で極小, x=c で極大に なるとは限らない (必要条件)。よって、解答の「このとき」以下で十分条件であ ..! ることを確認する。 f'(x)=3x2+2ax-3 f(x) は x=1で極値をとるから 3・12+2a・1-3=0 よって このとき f'(x)=0 とすると x=±1 f(x) の増減表は次のようになる。 x -1 f'(x) + 0- 0 f(x) 極大 極小 よって, f(x)はx=1で極小となるから, α = 0 は適する。 x=-1 で極大であるから c=-1 0<(a- また①から f(x)=x-3x+6 条件より, f(-1)=5 であるから (-1)³-3(-1)+b=5 したがって b=3 POINT (f'(1) = 0 ゆえに f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1) ...... 1 よって、極小値は f(1)=1-3・1+3=1 以上から a=0 + →x=1で > 極値を作るかも ① a=0, b=3,c=1; 極小値1 基本180 275 ◆f'(1) = 0 は必要条件で あるから, これより得ら れる α = 0 も必要条件 に過ぎない。 増減表を作って, a=0 が十分条件であること を確かめる。 別解 x=1で極小, x=c で極大となるから, 2次方 程式 f'(x)=0 すなわち 3x2+2ax-3=0 が x=1,c を解にもつ。 解と係数の関係から 2a 1+c=-- 3 1 1-c=-=-1 よってc=-1, α=0 (以下,増減表を作り, 十分 条件を確認する｡) f(x)=ax+bx+cx+d (a>0) において, f'(x)=0 の判別式を Dとする。 D>0 のとき, f'(x)=0 の異なる2つの実数解を α, で極大値, x=β で極小値

このような問題の時の増減表って、極大値や極小値の位置やグラフの概形は少し計算をしないとわからないものかと思っていましたが、回答を見ると増減表の後にちょっとした計算があるため、もしかしたら私のいつもの書き方とは別の方法があるのかなと思い、質問します。 よろしくお願いします。

415 関数f(x)=f(t2-2)dt の極値を求めよ。 [類 15 甲南大] Get Ready 412 900 eu140

微分についてです 三次方程式x*3-3a*2x+4a=0などの定数aの値を求める問題で判別式を使う時と使わない時の違いってなんですか？ 写真の問題でいうとこの問題はf*(x)が異なるふたつの実数解を持つから判別式Dを用いてD＞0を示すのかなって思ってやろうとしたんですけ... Read More

基本例題219 3次方程式の実数解の個数 (2) 3次方程式x-3a²x+4a = 0 が異なる3個の実数解をもつとき、 定数aの値の範 ISC 00000 囲を求めよ。 指針 方程式f(x)=0の実数解⇔ k 221 解答 y=f(x)のグラフとx軸の共有点のx座標に注目。 3次方程式f(x)=0が異なる3個の実数解をもつ y=f(x)のグラフがx軸と共有点を3個もつ ⇔(極大値)>0 かつ (極小値) < 0 (極大値)×(極小値) <0･･･ x -a a f'(x) + 0 - 0 + f(x) / 極大 \ 極小 > - 3次関数では f(x)=x-3a²x+4a とする。 3次方程式f(x)=0 が異なる3個の実数解をもつから 3次関 数f(x) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号になる。 ここで,f(x) が極値をもつことから, 2次方程式 f'(x) = 0 は 異なる2つの実数解をもつ。 f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a) f(x)=0 とすると x=±α よって QUER このとき, f(x) の増減表は次のようになる。 a>0の場合Dx a<0 の場合 ①f(-a)f(a)<0 から すなわち Best 4a²(a²+2)>0であるから したがって ( 極大値)> (極小値) [昭和薬大〕 ... x a f'(x) + 0 (2a³+4a) (-2a³+4a)<0 4a² (a²+2)(a²-2)>0 a²-2>0 a<-√2, √2<a a=0 : 0 + f(x) 極大 \ 極小 > -a 基本 218 極大 演習 224 y=f(x) 極小 337 【(極大値) > 0, (極小値) < 0 a=0のとき, f(x)=x3 と なり極値をもたない。 1930- αの正負に関係なく, x=a, -a の一方で極大, 他方で極小となる。 (極大値)×(極小値) =f(-a)f(a) < (a+√2)(a-√2)>0 α≠ 0 を満たす。 61 3

FOCUS GOLD182 ☆マークをつけた最後の方のところ、なぜこの条件式のようになるのか分かりません。 教えてください🙇‍♀️

*** の範囲を定めよ. 商の微分 (分母)=(x2-4) > 0 より (分子) の符号 を考える. 2次方程式 ① が異な る2つの実数解をも (x-2)20 x≠±2 である解を 極せない. (x+2)²=0 x≠±2 である解を もたない. このときの解は x=±2 x=-a±√a²-4 で極値をとる. Check 例題 182 極値をもつ条件(2) aを正の定数とし, f(x)=x-alog(x+1) とする. s/1) 関数f(x) の定義域を求めよ。 (3) f(x) がただ1つの極値をもつとき,定数aの値の範囲を求めよ (大阪工業大 ) 考え方 増減表をかいて考える.ただ1つの極値をもつための条件は,f'(x) = 0 を満たし、 の前後で、f(x)の符号が変わるxの値がただ1つ存在することである。 (1) 真数条件より x+1>0数分解 したがって, (x+1)(x²-x+1)>0 より x>1 x²x+1 3x² _x03-3ax2+1 (②2) f'(x)=1-ax+1 x3+1 (3)x>1 のとき, x+1>0 であるから, (2)より g(x)=x-3ax2+1 とおくと, f'(x)とg(x) の符号 は一致するので, f(x) がただ1つの極値をもつため の条件は,x> -1 において, g(x)=0 を満たし, そ の前後で g(x) の符号が変わるxの値がただ1つ存 在することである. g'(x)=0 とすると, したがって、キス g'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a) 関数の増減 より次のようになる. (-1)... 0 + 0 詞より。 (2) 導関数f'(x) を求めよ。 これを解くと, 2a lg'(x) 0 + 1-4a³ 7 g(x) (30) 71 lim_g(x)=3a < 0, g(0) =1>0よりx>1 に x = 0.2a g(x)の増減表は における x-1+0 f(x) が極値をもつxの値がただ1つあるための条件は、 g(2a)=1-4a³≥0 1-4a²0 - 1x (1-√√a)(1+√4a+√4²a²) ≥0 a>0より, *** 0<a≤ 2 -3a + g(x) 3+1 f'(x)= x+1>0 より, g(x) の符号を考える. y=g(x) /60 2a 393 -1<x<0 で,g(x) は単調増加である. g (2a) ≧0のとき, 題意を満たすxの値は, |x=b(-1<b<0) のみ となる. 1+√√4a +4²a²>0 第6章

(2)で、増減表にx=0を含めるのはなぜですか？

& 例 179 曲線の凹凸とグラフ[2] ･・・無理関数 次の関数の増減値, グラフの凹凸, 変曲点を調べ、そのグラフをかけ。 (2) y = √x²(x+5) (1) y=x+√4-2 上に凸と <Action 曲線の凹凸 変曲点は,第2次導関数の符号を調べよ 段階的に考える p.319 まとめ 14 概要の手順で考える。 yやy” が存在しない点がある関数の注意点 ･･･そのxの値を増減凹凸の表に入れ, y'′ やy” の極限を考える。 □ (1) 定義域は 4x≧0より y'=1- y'=0とおくと 724,07( ゆえに 変曲点はない。 また *-(1-7) - y" <0 -2 <x<2のとき よって増減、凹凸は次の表のようになる。 X -2 √√√2 2 X √4-x² √2 のとき 大値2√2 lim y = ∞0 x = √2 5 = y" y -22√2 y=0 とおくと 10 -2≤x≤2 4-x²x6 √√4-x² lim y'= -co x-2-0 がって, グラフは右の図。 (2) 定義域は実数全体である。 y=x3(x+5) = x +5xより 10 3 x=-2 10 9 x=1 y" = 0 とおくと + 0 + 4 (4-x²)√4-x² = >0 2 2 5(x+2) 3³√ x y 2√2 10(x-1) 94 0 2 √22 x 2 例題178) (√の中) 20 チッパーX:0 √4-xよりx≧0 であり 4-x² = x² 2x² = 4 =2より 20であるから x = √2 lim y = ∞ より グラフは点 (-2,-2)で 直線x=-2に接する。 点 (2, 2) においても同様。 √√x²=x* x=0 において, y' は存 在しない。 1x=0 において,yも存 在しない。 「よって増減、凹凸は次の表のようになる。 X y + y -2 0 (0) 2 0 なんで? 変曲点は (1,6) ここで limy = ∞, lim_ y = -00 lim y'= ∞, lim y'= -00 したがって, グラフは右の図。 *** + 1 + 0 34 ゆえに, x=2のとき 極大値394 x=0のとき 極小値0 6 + + Ĵ y=√x²(x+5) y4 Point (1) の関数の図形的な見方 例題179 (1) の関数y=x+√4-x... ① は,2つの関数 y=x･･･ ② と y=√4-x... ③ 34, の和である。 → 式を分ける このことから、 次のように考えることができる。 (ア) グラフの概形 ② のグラフは原点を通る傾き1の直線 ③のグラフは原点中心, 半径2の円の上半分であるから, ①のグラフは右の図のような概形になると予測できる。 (イ) y'の符号 y'の符号は これは、③ すなわち 1-1/201 x の符号から考える。 y'の分子)=√4-xx ③ の方が上にある-2<x<√2ではy'>0 ② の方が上にある√2<x<2では y'<0 (34) 27×4108, 6216 より 3 4 <6 syはx=0の前後で負 | から正に変わるから. x=0で極小値をもつ。 例題173 Point 参照。 (3) (2) ②のグラフの上下から考えることもできる。 |軸に接するようにかく。 グラフは原点Oでy -2 2 3 2 ① 10 y 2 A 2x 5章 関数の増減とグラフ 11 10 22 x 179 次の関数の増減, 極値, グラフの凹凸, 変曲点を調べ、そのグラフをかけ。 (1) y = √25-x² (2) y = √√x²-x MM p.346 問題179 335

この問題がf(a)×f(-a)の解を場合分けしている理由がわからないです。解説お願いします。

392 第6章 微分法 Check 例題221 実数解の個数 (2) 3次方程式x-3a²x+4a=0 が異なる3つの実数解をもつとする. 定 数αの値の範囲を求めよ. 考え方 例題 220 (p.391) のように定数を分離しにくい. このような場合は、次のように3次関 数のグラフとx軸の位置関係を考える. f(a) f(B) <0 y=f(x)] AJ. x 3次方程式f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ mň mn ⇔y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わる mü ⇔ (極大値)>0 かつ (極小値) <0 ← (極大値)× ( 極小値) < 0 ■解答 f(x)=x-3a²x+4a とおくと, f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a) ① 方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ条件は, y=f(x)のグラフがx軸と3点で交わること, (極大値)×(極小値) < 0 つまり, となることである. (i) ①より,f'(x)=0のとき, x=-a, a a>0のとき, -a [f'(x) + 20 増減表は右のよう になる. f(x) 極大 極小 a<0のとき, 増減表は右のよう になる. 3次関数においては, | (極大値)> (極小値) f'(x) + f(x) a *** 注) 例題221 で, (i) f(x) が極値をもつ、 (Ⅱ)(極大値)×(極小値) <0 のいずれかを 満たさないときは、 右の図のようにx軸 と3点で交わらない. (i) と(ii) をともに満たすことが重要である. a 20 + -a 0 極大 極小 a=0 のとき, f(x)=x3 より, f(x)=0 の解は x=0 (3重解) となり不適 (ii) f(-a)x f(a)=(2a³+4a)(-2a³+4a) 0 + =-4a² (a²+2)(a²-2)<0 (i) より, a=0 であるから,²0, ²+2>0 より, a²-2>0 (a+√2)(a-√2)>0 これより, a<-√2√2<a よって, 求めるαの値の範囲は, a<-√2,√2<a ( 極値をもたない) *** f(x) が極値をもつ ⇔ f'(x)=0 が異なる 2つの実数解をもつ f(x)=0 の (判別式) > 0 (p.373 参照) 直接, 増減表を書いて |極値を調べたが, f'(x)=0 の判別式を 使ってもよい。 判別式をDとすると, D=-4.3(-3α²) =36a²>0 より、 a<0, 0<a (a+0) となる. f(a) f(B)>0 a H1

FOCUS GOLD150(3) いままで、yダッシュ=0は極地を持つための必要条件であり十分条件ではない、と覚えていたのですが(3)でyダッシュの値が存在していない場合を見るに、必要条件でもないって事ですか？ それともこれは例外的？何でしょうか。 教えてください🙇‍♀️

390 第6章 微分法の応用 Check 例題 180 関数の増減と極値 次の関数の増減を調べて, その極値を求めよ. ov. (1) y=x4+2x32x D (2) y=x+2sinx (0≦x≦2) (3) y=√x-2| 考え方 極値の求め方は, ・y'′ を求め,y'=0 となるxの値を求める ・求めたxの値の前後のy'の符号を調べる (増減表をかくとよ (2) 0≦x≦2の範囲で増減表を考える. (3) y' が存在しないの値で極値をとる場合である. 解答 (1) y'=4x3+6x²-2=2(x+1)^(2x-1) y'=0 とすると､ 1 x=-1. 2 の増減表は次のようになる. x y' y - ・1 0 1 ... T 1 2 0 11 ⠀ + 2 2(2x³ +3x²-1) 21230円 21-1₁ x=

(2)の赤枠の所は-2から0の積分と0から-2の積分では正負が異なるという事でしょうか？もしそうならなんでそうなるか教えて下さい。

f(x)はx=-1の近くで減少しているから f'(-1)=3a-26+c<0 ①より 3a+c=-26 ②に代入して - 46 < 0 ゆえに b>0 (0) (2) h(x)=∫og(t)dt のとき,このxの関数を微分する と y=g(x) h'(x)=g(x)=f'(x)| が成り立つ。 n 2 h(-2)=∫g(t)dt=-J_g(t)dt y=g(x)のグラフから,面積を考えると / g(t)dt>0 であるから h(-2)<0 (②) また, '(0)=g(0) であり, グラフより g(0)>0である から h'(0) >0 (0) 次に、⑩~③の正誤について考える。 ⑩ 0 d=0 であるから、 ⑩は正しい。 <1において、h'(x)=g(x) 0 であるから、 追加し、極値をもたない。 よって,① (注 L

微分積分学の問題です。 (1)のような不等式の証明は何から考えれば良いのでしょうか？ また、(3)は与えられている解を代入するだけで良いのでしょうか…？ 詳しく教えていただけると嬉しいです🙇

9 4 条件2 (+2)=ぴのもと、f(r,y)=-r+yの極値および極値点をすべて求めたい。 以 4 下の問いに答えよ. 9 (1) 実数x,yがx2x+ 2 ( =ぴ をみたすとき, 不等式æ<uが成立することを示せ. 4 (2) ラグランジュの未定乗数法を用いて, 正則点の中から極値点の候補をみつけるための方 程式を立てよ.ただし, 当該方程式を解く必要はない(※当該方程式の解は(x,y,入)=(-2,1,-3) であり,このことを次の小問 (3) で用いてよい). (3) 上述の条件付き極値問題の極値および極値点をすべて求めよ.