Question

ぎん

これがどうしてもわからないです。
なぜa＝0を確かめてるのですか？

182 極値から係数決定
基本例題
f(x)=x+ax² - 3x + b とする。 f(x) は x=1で極小になり, x = c で極
181
大値5をとる。 定数a,b,cの値とf(x)の極小値をそれぞれ求めよ。
Sc
COLUTION
f(α) が極値⇒f'(a) =0 (必要条件)
CHART
解答
f(x)がx=1で極小になる→f'(1) = 0
f(x)がx=cで極大値5をとる→f'(c) = 0, f(c)=5
ただし,f'(1)=0,f'(c)=0 であるからといって, x=1で極小, x=c で極大に
なるとは限らない (必要条件)。よって、解答の「このとき」以下で十分条件であ
..!
ることを確認する。
f'(x)=3x2+2ax-3
f(x) は x=1で極値をとるから
3・12+2a・1-3=0
よって
このとき
f'(x)=0 とすると
x=±1
f(x) の増減表は次のようになる。
x
-1
f'(x)
+ 0-
0
f(x)
極大
極小
よって, f(x)はx=1で極小となるから, α = 0 は適する。
x=-1 で極大であるから c=-1
0<(a-
また①から
f(x)=x-3x+6
条件より, f(-1)=5 であるから (-1)³-3(-1)+b=5
したがって
b=3
POINT
(f'(1) = 0
ゆえに
f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)
......
1
よって、極小値は f(1)=1-3・1+3=1
以上から
a=0
+
→x=1で
>
極値を作るかも
①
a=0, b=3,c=1; 極小値1
基本180
275
◆f'(1) = 0 は必要条件で
あるから, これより得ら
れる α = 0 も必要条件
に過ぎない。
増減表を作って, a=0
が十分条件であること
を確かめる。
別解 x=1で極小, x=c
で極大となるから, 2次方
程式 f'(x)=0 すなわち
3x2+2ax-3=0 が
x=1,c を解にもつ。
解と係数の関係から
2a
1+c=--
3
1
1-c=-=-1
よってc=-1, α=0
(以下,増減表を作り, 十分
条件を確認する｡)
f(x)=ax+bx+cx+d (a>0) において, f'(x)=0 の判別式を
Dとする。 D>0 のとき, f'(x)=0 の異なる2つの実数解を α,
で極大値, x=β で極小値

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

x=1で極値をとる⇒f'(1)=0ですが
この逆は成り立ちません(=逆が成り立つとは限らない)

f'(1)=0からa=0が得られましたが
この時点ではf'(1)=0すなわちa=0のときx=1で極値をとるとは限らないので、それを確かめています

ぎん

でも問題文にx＝1で極小になると書いてあります。

和

「極値をとる」から「a=0」を得るのは一方通行なんです
「a=0」から「極値をとる」とは直ちには言えません

「極値をとる」から「a=0」を求める作業で言えることは、
極値をとるようなaの値があるとしたら候補はa=0しかない
ということです
a=0以外の候補は消えたということであって
a=0が本当の答かどうかはまだわからないということです

a=0のとき本当に極値をとるか確かめなくてはなりません
その結果a=0のとき極値をとらなかったら、
a=0は答として不適です
答は「条件を満たす実数aは存在しない」ということになります

ぎん

どういう時に確かめないといけないですか？

和

数学全体を通して、上で言うような一方通行のときです

今回の
極値⇒f'()=0
はとても有名なので知っておいてください

わざわざCHARTとしてデカデカと注意しているので、
大事だということはわかると思います
ここでは必要条件ということが大事なところです

ぎん

必要条件と十分条件がいまいちピンとこないです。

和

それはこの問題から離れて
きちんと教科書からやり直すことでしょう

ここではまず必要だの十分だのという言葉にこだわらず、
【一方通行でしかないから、逆を意識的に別途確かめないといけない】ということを理解できればいいです
それが理解できないことと必要十分の言葉を理解していることとはやや別です

和

1ヶ月経ちましたが解決されましたか？