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a m
く 5.8-01東北大·後理6.. 保存 Q
0<a<1であるような定数aに対して,次の方程式で表される曲線Cを考える。
(1) Cの極方程式を求めよ。
(2) Cとェ軸およびy軸との交点の座標を求め,C の概形を描け。
とする。C上の点のェ座標の最大値と最小値およびy座標の最大値と
V3
(3) a =
最小値をそれぞれ求めよ。
(01 東北大 後理·工6)
【答)
(1) r= cos0 +a
(2) 交点の座標は (0, 0),(1土a,0), (0,±a),概形は略。
(3) ェ座標の最大値1+
と最小値 - 点:y座標の最大値
V3
と最小値 - 22
【解答)
(1) ェ=rcos 0,y=rsin0 とおくと,Cは
°= ( -rcos 0)°
. r=0 または
r- cos 0 = 土a
r=0
r= COs 0 +a
……の
r= COs 0 -a
0<a<1であるから,cos0 +a=0となる0が存在し,そのときのはr=0となるから,
のはのに含まれる。
また,極座標では,(r, 0) と(-r, 0+m) は同じ点を表すが,Oでrを -r, 0 を0+πと
おくと
ーr= cOs(9 +T) -a
. r= COS 0+a
となるから,Oはのに含まれる。よって,求める極方程式は
……(答)
r= cos 0 +a
(2) Cとr軸およびy軸との交点の座標を求める。
まず,(1)で調べたように,曲線 c は原点を通る。そ
れ以外の座標軸との交点は
(i) 0=0のときr=1+a
(i) 0=Tのときr=-1+a
) 0= エのときr=a
1+4
iv) 0= - Iのときr=a
よって,Cと』軸およびy軸との交点の座標は
(0, 0), (1 土 a, 0), (0,土a)
Cの概形は右図となる。
………(答)
1/2
2
(3) まず,z座標の最大値と最小値を求める。
T=rCOs 6 =
COs +
COs e
cos 0 +
三
早- (
-1S cos 0 S1であるから,ェは
cos 0 = 1のとき最大で,最大値 1+
V3
…(答)
COs 0 = -
2v3
のとき最小で、最小値
…(答)
12
次に,y座標の最大値と最小値を求める。
II
く
