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基本 例題 54 平面上の点の移動と反復試行
右の図のように, 東西に4本, 南北に5本の道路がある。
地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ
X?? 向かう。このとき、途中で地点を通る確率を求めよ。
ただし,各交差点で,東に行くか, 北に行くかは等確率と
し,一方しか行けないときは確率でその方向に行くも
A
基本 52 重要 55
のとする。
指針
求める確率を
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
から,
5C2 ×2C2
7C3
とするのは誤り!
これは,どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で, 本間は道順によって確率
が異なる。
例えば, A↑→→P→→Bの確率は
C D P
222
1 1 1 -.1.1.1.1=-1
A→1→11PBの確率は
11 11 1
・1・1=
A
22222
32
したがって,Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。
右の図のように, 地点 C, D, C', D', P' をとる。
解答 P を通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに
排反である。
C
D.
P
C'
D'
P
[1] 道順 A→C→C→P
この確率は
1/2×1/2×1/2×1×1=(1/2)-1/8
Lx1=
A
[2] 道順 A→D'→D→P
この確率は...(1/2)(1/2)x1/1/2×1=3 (12) 11216111111と進む
3
=
[1]
[3] 道順 AP′'→P
この確率は C.(1/2)(1/2)×1/2=6(1/2)-3/2
よって, 求める確率は
18
+
316
6
16
1
+
=
=
32 32 2
[2] ○○○↑→と進む。
○には,
入る
→1個と 12個が
[3] ○○○○ と進む。
-
○には, 2個と 12個が
入る。
練習 右の図のような格子状の道がある。 スタートの場所か
③ 54 ら出発し, コインを投げて, 表が出たら右へ1区画進
み, 裏が出たら上へ1区画進むとする。 ただし, 右の
端で表が出たときと, 上の端で裏が出たときは動かな
いものとする。
スタート
A
(1)7回コインを投げたときに, Aを通りゴールに到達する確率を求めよ。
(2)8回コインを投げてもゴールに到達できない確率を求めよ。
ゴール
〔類 島根
