ページ3:

A 面
数学 [C問題〕
(一般入学者選抜)
1 次の問いに答えなさい。
2x-3y
(1)
+
x+4
x + 4y_
を計算しなさい。
4
√8+10√3
(2)(1+√6)-
を計算しなさい。
√2
(3) 二次方程式(x-7)-4(x-7)= 0 を解きなさい。
(4)a b を定数とする。 関数y=-
=-1/xについて、xの変域が-6≦x≦aのときのyの変域が
16My≦bであるとき、 a、bの値をそれぞれ求めなさい。
(5) x 有理数とする。
35
12xと
21
xの値がともに自然数となる最も小さいxの値を求めなさい。
20

ページ4:

① (1) 2-30g+2444
4
(2) (1+56)² - 58+1053
(3)
√2
3(2x-3g)+2(x+4g)
=
12
=
(x-7)²-4(x-7)=0
(x-1)(x-1)-4)=0
(x-1)(x-11)= 0
(4)
-6
0
-16
-9
8x-y
=
12
(7+256)-12+556)=5-356
思い付かない場合は展開して因数分解or解の公式
x=7,11,
a
8
x=-6では
x=aのところで
=-9であり、-16=yになる必要があるから
g=-
y=-16をとると分かる。
つまり-40°=-16よりa=±8,a2-6よりa=8
#
よって左図のようになり-16≦y=0 つまり b=0.
(s) point
正の有理数が自然数になるには分母の素因数を分子が全て持っていれば良い
35
12
20
2.5
5.7
x=113xxxが自然数になるには、
22.3
とが分子に2、3.5を持っていれば良い.
そのうちを小さくするには分子は2,3,5以外に素因数をもたなければ良く
分母はできるだけ大きくしたい、分子に7だけ共通しているからその分母にも
7だけ置ける
以上より x=2,35
60

ページ5:

A面
(6) 二つの箱 A、Bがある。 箱Aには奇数の書いてある3枚のカード1、3、5 が入っており、
箱Bには偶数の書いてある3枚のカード4、6、8が入っている。 A、Bそれぞれの箱から
同時にカードを1枚ずつ取り出し、 箱Aの中に残っている2枚のカードに書いてある数の和をα、
箱Bの中に残っている2枚のカードに書いてある数の和を6、 箱 Aから取り出したカードに書いて
ある数と箱Bから取り出したカードに書いてある数との和をc とする。 このとき、a <c <bである
確率はいくらですか。 A、 B それぞれの箱において、 どのカードが取り出されることも同様に確か
らしいものとして答えなさい。
(7) αを十の位の数が0でない3けたの自然数とし、 bをαの百の位の数と十の位の数とを入れかえて
できる3けたの自然数とする。 ただし、もの一の位の数はαの一の位の数と同じとする。 次の二つの
条件を同時に満たすαの値をすべて求めなさい。
a- b の値は自然数である。
2
・αの百の位の数と十の位の数と一の位の数との和は20である。
(8) α、bを正の定数とする。 右の図において、 mは
yn
m
b
=
B
x
関数y=ax2 のグラフを表し、 n は関数 y=
のグラフを表す。 Aは上の点であり、 その
x座標は1である。Bはm上の点であり、その
x座標は-3である。 lは、 2点A、 B を通る
直線である。C は、Bを通りy軸に平行な直線と
軸との交点である。 Dは、 A を通りy軸に平行
な直線と直線 BOとの交点である。 CとDとを
結ぶ。lの傾きは1/2であり、四角形 ABCDの
面積は17cmである。 α、 bの値をそれぞれ求め
なさい。 答えを求める過程がわかるように、 途中
の式を含めた求め方も説明すること。 ただし、
原点Oから点 (10) までの距離、 原点Oから
点 (0.1) までの距離はそれぞれ1cmである
とする。
(2)
n
x

ページ6:

(8) point
グラフ上の点は代入可能
[解](きちんとした解答は最後の模範解答参照)
point より A(1,6),B(-3,qa) またC(-3,0)
BOは y=1/x=(za)xよりD(1,3a)
B(-3,99)
(1,b)
A
=ax2
ABの傾きは-12/2より
6-9a
T-(-3)
F -
1/
また、ADBC より ABCDは台形
AD=b-(-3a)=6+3a,BC=qa より
1/2×((b+3a)+qa)×(1-(3))=17
①②をとり?a=1/2,601/27
し
1290-6
=
2
あとけば良い.
24a+2b=17
qa
B(-3,99)
1-(-3)>
y=(3a)x
D (1,-3a)
(1,b)
A
0
416-(-3a)
y=ax²
"D (1,-3a)
17cm²

ページ7:

B面
2 図1、図Ⅱにおいて、 △ABCはBAC = 90°の直角三角形であり、 BC =4cm、 AB AC である。
点は、3点A、B、Cを通る円の中心である。 このとき、 Oは辺BCの中点である。 △OAD はOA OD
の二等辺三角形であり、Dは円Oの周上にあって直線BCについて A と反対側にある。 半周より短い弧
AB、BD について、AB=2BD である。 Eは、辺AD と線分BO との交点である。BとDとを結ぶ。
円周率をとして、 次の問いに答えなさい。
(1) 図Ⅰにおいて、
☑I
① 中心角の大きさが180℃より小さいおうぎ形ODC
について、 中心角 DOC の大きさをα とする
とき、 おうぎ形 ODCの面積をαを用いて表し
なさい。
B
C
/E
D
(2) ABDO∽△AEC であることを証明しなさい。
(2)図IIにおいて、 BE =1cm である。 Fは、直線DO
と辺ACとの交点である。 BとFとを結ぶ。
図Ⅱ
①辺AB の長さを求めなさい。
② 線分 BF の長さを求めなさい。
(3)
B
E
F

ページ8:

図 I
B
C
(①(おうぎ型OCD)
=
C. 22. a
360
=
Ta
90
#
②(きちんとした解答は最後の模範解答参照)
COに注目して∠DBO=∠EAC・・・(*)
12BD=BAより 2∠BAD=∠ACE
D
Bに注目して
よってLBOD=∠ACE
(**)
2∠BAD=∠BOD
(2)①
(木)(木)より言える
(1)② より B0:0D=AC:CE
1)
2
よってAC=3
3
三平方の定理よりAB=√4-32=17
図Ⅱ

ページ9:

(2)②
(1) ②より、∠FCO=∠BOD
対頂角は等しいから、
<FOC=CBOD
よって LFCO=∠FoC=Oの
二等辺三角形 FOCになる.
またAo=oc より
△AOCも二等辺三角形で
LOAC=LOCA=O
よってFCO~OOCAより
図Ⅱ
B
E
FC:Co=0C:CA
よって
FC=1
(
"
r
AF=3-1=1/3とAB=57より
BF=J72+
=
2.22
3
3

ページ10:

B面
3 図1、図Ⅱにおいて、 立体 ABCDEFGHは四角柱である。 四角形ABCD は AD // BCの台形であり、
∠ADC= <DCB=90°である。 AD=2cm、 DC=BC=4cmである。 四角形 EFGH= 四角形ABCD
である。 四角形 HGCD、 GFBC は 1辺の長さが4cmの正方形であり、 四角形 HEAD、 EFBA は長方形
である。
次の問いに答えなさい。
(1) 図1において、 EとC、FとCとをそれぞれ 図
結ぶ。 I は、 線分 EC上の点である。 Jは、Iを
通り辺 EF に平行な直線と線分FCとの交点
である。 Kは、Jを通り辺FBに平行な直線と
辺BCとの交点である。
① △BCF を直線FCを軸として1回転
させてできる立体の体積は何cmですか。
円周率をとして答えなさい。
F
線分 ECの長さを求めなさい。
③ EI = JK であるときの線分EIの長さを求めなさい。
(2)図IIにおいて、 L、Mはそれぞれ辺 HG、
DC上の点であり、HL=MC=1cmである。
LとMとを結ぶ。 N は、Lを通り辺FGに平行
な直線と辺EF との交点である。 Oは、Mを
通り辺BCに平行な直線と辺AB との交点で
ある。このとき、 NL //OM である。 NとO
とを結ぶ。
図Ⅱ
① 線分 OM の長さを求めなさい。
F
② 立体 OBCMNFGLの体積を求め
なさい。
(4)
H
H
E
K
B
A
D
D
M

ページ11:

pome (平面を切り出す)
空間図形の中の考えたい平面があるとききちんと絵に書き出す
(1)①
4
252452
2.
回転
B
12√2
C
図 I
H
上図より円錐を2つくっ付けた形になるから、
x
2 × (3) π (25)² = 252 ) = 3252x
元
X
---
(面積) (高さ)
point(空間内の二点間のキョリ)
左図のようにABが対角線になるように直方体を作ったとき、
AB=√ a²+b² +c²
と求まる

ページ12:

EからFGに下ろした垂線の交点をE',
A 615 BC
〃
A'532.
ECは直方体EADH-E'A'CGの対角線になる。
point FY EC-J2²+4'+42
====
6.
女
③ FI=JK=Xとする
EFNITとFBのJKより
AECFCODICI Z O F C B ~ A J C K
よってEC:
FC JC FB:JK
6-8
6x=4(6-x)をといてx=1/
☑ I
2
4
B
KA'
図 I
H
・4
B
-6xx
K

ページ13:

(2) ①
B
0
4
4,
IM
ABとCDの交点をPとすると
△APD△BPCより
7
図Ⅱ
F
N
E
H
AD:BC=PD:PC=1:2つまりPD=DC=4
よってMC=1 より PM=7
.4.
2
D
7
△OPMN△BPCよりOM:MP=BC:CP これよといてOM=1/2
Point1(断頭三角柱)
"
8
左図のように三角柱ABC-AB''を切断したとき
F
下側の体積Vは
H
V=Sxath+c と求まる
また例えばAとDが一致するときa=0とすれば良い
これ応用させて以下が成り立つ
point 2 (断頭多角柱)
・底面の多角形をいくつかの三角形に分割してpoimlを利用することで求まる
例えば左図のとき
V=Six.
beetd+Szx
btdte + Sex
atbte
で求まる
3
3
3
このことから切断ではなく、いびつな形になってもこれが使える

ページ14:

point 2 を用いる。底面をCMLG,
これに対して垂直にCB,Mo,LN,GFが
立っている。LNは(2)①同様にして
LN=号と求まる
△L6M=1/2/3.4=6
OMC6=1/21-14-2
図Ⅱ
-m
3
である.
F
E
H
C
4
D
Point2 より 求める体積は
△LGM× LN+6F+Mo
3
+△MC6×
MO+CB+GF
3
=
6 × 1/2×1/+4+/2/2)+
2 ×
1/23×(1/2+4+4)
83
=
3
A
(補足) poine1より以下も成立
point
左図のように
三角柱の上と下を切断したような立体の体積Vも
V=Sxatbtc
と求まる
3
つまり3本の平行な線分から作られる立体の体積が求まり、
Sは直線に平行に光を当てたときの
の影(三本に対して垂直な平面におとした)
になっている

ページ15:

(1)
1
(2)
和6年度大阪府学力検査問題
数学採点資料 (C問題)
8x-y
12
5-3v6
(3)
x=7
9
x=11
(4)
aの値
8
bの値
0
60
(5)
(6)
(7)
(求め方)
(8)
[コメント]差が付きやすいやや難が集まったような試験、
素早く解けるように訓練しょう。
配点
注意事項
4
(
2
(証明)
4
839
947
1
部分点を与える。
Aは上の点だから A (1.6)
Bは上の点だから B(-3,9α)
の傾きは1だから --12
BC=9a (cm)
・
「こ
問題
に適している。」と
いう記述をして
いる。 この
くても点の対象と
はしない。
(2) D
直線BO の式はy-3ax であり、 D は直線BO 上
90
ABDO と△AEC において
同じ弧に対する円周角は等しいから
<DBO= ∠EAC ••••••
AB=2BD だから ∠AOB2/BOD
よって <BOD= <AOB
配点
注意事項
cm²
一つの張に対する円周角の大きさは、その弧に対する
中心角の大きさの半分だから
∠ACE
-1AOB
イ、⑦より ∠BOD= ∠ACE
⑦、 より、2組の角がそれぞれ等しいから
ABDO AAEC
√7
cm
部分点を与える。
の点だから D(1-3)
よってAD=3a +6 (cm)
四角形ABCD の面積は17cm だから
AX (12a+b)×4=17
⑦⑨を連立させて解くと
a = b =
の値
bの値
52
149
②
2√22
cm
32x2
cm³
(
3
②
6
②
cm
cm
②
Ave. は 56.4/90
(約63%)
cm
cm³
配点
注意事項
A

ページ16:

(6)
point(総当たり)
残りの和 1
a
(7)
総当たり的に考えるときは2つのさいころ同様表をかく.
取り出し方は下の9通り
4
残りの和
BⓇ
3
6
b
468
acccbになるものに○を付けると
5
8
左図のようになる
A
B
A
3
Q
Q
5
0 a
よって
C
#
a=100z+10ny+xとするとb=100g+10z+x(0≦x=9,lay=9,1≦x≦q)
=
355(2-g)よりこれが自然数のとき z-y=5k(k:自然数)
a-b
902-90g
=
2
2
Zとyの範囲から0sz-y≦8よりz-y=
= 5
つまり(z,y)=(9,4),(8,3),(7,2),(6-1)
条件から2+y+xx=20よりそれぞれさは7,9,11,13になるが0≦x≦9より
11、13は不適.以上より、a=947,839
#