ありがとうございます

0≦x≦1という範囲の指定があり、それ以外の範囲は存在しません。
平方完成をすると軸がx＝aということが分かります。
しかし、aの具体的な値によって、最小値をとるxの値が変化します。

今回は2次の係数が正なので下に凸のグラフになります。
0≦x≦1の範囲にx＝aが存在すればx＝aのときにグラフの頂点がきて、そこが最小値になりますね。
しかしx＝aが0≦x≦1の範囲にない場合はx＝aが0未満なのか1より大なのかで答えが変化します。
なので今回は3つに場合分けします。

何故場合い分けをするのですか。

どうぞ