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泰勒展開式 泰勒展開式可以做什麼? 我有一個函數我知道某點 的值想家附近另一點的值 在入到b 必然存在 個斜率 20 的點(如蛋 aka given f(a) wanna know flatox) 其中 所求 沒寫證明真的有夠平門 但我認為這東西鉤直觀所以 先沒關係 推廣 已知與所 斜率二。其實是f(a)到 已知 不要x差太遠 f(b)的 想法考慮一個函數有2點 有y=f(a)=f(b)意即有2個 等高度的點 ← 他,一條水平線 所以變成寫: given V A QAQ 呃先說反正要連 + C 9<c<b QAQ 續 用白話文 aka 不討論 have slope on p=f(a) 9 = f(6) St. fcc)=m 給定點 (a,f(a)>與< 在ab(X軸上)間必 <bf(b)> 存在 C.使致f(c)有“與兩點割
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線相同之斜率 ※我只有懷疑:一定在a,b 之間嗎? 所以做一個反證法 (不是反正是對的那個笑話 前述 case assume n between start slope and end slope all of the case, consider Conti., will swipe through m m > start slope and next 很 爛) will end slope or m< Start Store 假 没在 a 任 口問不存在 有斜率, and end seope? m 也就是 aka Mj with in ab ± m 可以看 start end slope both NEG but m is pos 看的方法,由左往右、 X increase case: start slope >m ˙end sope which is the m> start slope and end slope Case start slope <m < end stope > and the prove is somewhat simple
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反証
if the mi of all the points.
through out
a
to b.
is
with in range of
Slope end, then,
wont
(→←)
aka
slope start,
m
the
out come
max (Ms, Me)
m> max (ms, me).
從洛爾到MVT 是構造一個
g Such
g'(C)=0
that
↑
可以展開MT
※來吧,先看洛雨
f(a) = f(b), 4 cc [a, b] s.t.
B
f(c) =
wrong
故在
a
至b區
f is const
顯而易見
case o
必然有
欸……反正呢……這個寫法是錯
的,就可以看出正式的Pf有多
巧妙
case 1. f' is coast.
Case 2
I' is not const
(→←)
↓
wont hav f(a) = f(b)
7 at b
考慮以下條件並存
f'不為常數(應該是說f
Notice that MVT沒有要一處處
連續,只有要求在ab之間可微
{
f(a)=f(b)
不為常权)
流程先岩爾再MVT
14 # a b 9
f極值
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該極值點有 <c, fics> 構造(x)=f(x)-劃線方程式 lim fccth) -fcc) NEG 400+ h Pos =ZEROOr NEG Check that gox) can use 1381 (im feeth)-fies 1. Gex) 22 BTWN as b NEG POS or 2. (a) = g(b) 4757 h NEG ZERO 二○ 計算過程略 to Sum up fcc) is ZERO =0= due to the fact that tim. = [f00-f(a) f(bt fla) (x-5) 6-9 g'(c) 70+ f(x) is def of kn MVT f'cc) pfed P. Sy & As = fur-fla) ( x-a) + f (a). 6-a tc f'(c) = f(b)f(a) b-a Pfed
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泰勒可以推出MVT!?! RI assume a hear b. = (a+sa) = f(a)+ f'(a) (4a) + R →f (6) = f(a) + ficas (b-a) +k +(6)-f(9) f'ca) ba 試試看從MVT到泰勒 fice) = few-feas for CG [ a, b ] .b. TAT 整理 回這個形式 febl= (b-a) f/(c) + f(a) the + = f(a) = f(c) (b-e) b z za 14 % af eta zu t 想要讓f(c)變溆fia) fix \cdcb-a) + fer) (bs) f(a) (b-a)
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不在意((a) (ha)的異,就可以得到 f(b) = f(a) + f'(a) (b-a) + ++" (}) (b-a)³ * + * # a $2 b 2 按 st 門 to ab¿ DA * t a c z v 962 正解要引入(也並不一定,但any way) 柯西均值 看到 MVT f(br f(a) =f(c) b-a f(b)-f(a) 考慮g(a)=x,g(b)=6. g(a)=a g(1)=1 fcc) it 9(6)-9(a) f(b)- f(a) f'() g(b)-g(a) g'(c) f同構造一個函數為 h=f-g where 9= f(b)((a) g(b)ga) (g(x) - g(a)) +f(a) h(x)=f(x) - hox)= f(x) = f(b) f(a) (g(x)-g(w) -f(a) 9(b)-9(a) Hash(b)
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其實就是口 這邊的餘項該要是f5) (x-a) is where * 有一個近似解 assume a number BTWN G and b a b c is Close enough key (dirty) do 之間 St. * = =R MVT to a Exc f'cc>- f'(a) = f($) f" (§) (c-a) = f'(c)-f'(a) 令一點产在[a] f(a)=f(号) c-a 取代 改 合同類項 f(b)= fra) | f (a) (b-a) + [ƒ'co-fia)] (b)
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不考慮高維(笑死) vecA Avec B 有交角& dot product fa NORM (A) X NORM (B) x cos where outcome of cos is bounded with in ~ 1 thus vecA DOT vec B "LEQ" NORM(A)NORM (B
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h()=0 = f(x) - f(b) f(a) g(b)-9(a) g'(x) c f(c) f(b)-f(a) Pfed g'(c) = g(b)-9(9) 好純數喔不開心嗚 補充柯亞的另一個東西 柯西不等式 (柯西施瓦茨) consider two vector a and b consider a Scaller 比大小 dot product will outcome NORM (A) X NORM (B) A 內積 个 乘 687 與 ↓ 出纯量 誰大
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