ページ3:

① 正方形晶格(順時針轉90°) 為A4旋轉對稱軸
2
4
4
完全重現
②長方形晶格(順時針轉180)⇒為A2旋轉對稱軸
2 外觀重現
w
3
完全重現
乙
③ 六方晶格(順時針轉60°)=>為A.旋轉對稱軸
5
4
3
3

ページ4:

此才是單位六方晶格
已是3個單位六方晶格
若只取一半
但可輕易看出只要順時針轉60,
六方形的外觀就會重現
120°
(順時針轉1200)=>為A3旋轉對稱軸
tık
∴六方晶格七=
[EXE=120°⇒ A3 旋轉對稱軸,顯然平面晶格中,A3 CA
Xe=60°⇒貝A6旋轉對稱軸
④ 斜形晶格(oblique): f
ti k tz +90°
→tz
2
⇒ 斜形晶格之最高旋轉對稱軸為A2

ページ5:

投影
⑤面心晶格 face-center):St≠
ti #tz
tz
t, coso ===±±±²
;tz
tz
ti
tź
若七=tz,則CosD=2,0=60,將变成六方晶格
若日=45",將变成正方晶格
投影
D
⇒一定具有A2旋轉對稱軸
由此5種平面單位晶格,再加上平面外一個平移對稱向量
將可組成14種三維單位晶格,稱為14個Bravais lattice
若單胞之晶軸長度用a,b,c表示晶軸間夾角用,阝,表示
可決定三維單胞之最小重複單位(即單胞之形狀大小)
故稱aib.c為晶格常數(lattice parameter)
α,ß,r
ã*b=r
阝
bfè = x
a
ixà=阝
單位晶胞(unit cell)

ページ6:

若單胞之格子點只出現在8個角隅,就稱為
"簡單"單胞(primitive unit cell),3個晶軸長度向量a,b,ㄛ,
就一定對應三維平移對稱向量,无,去
但若除8個角隅外,面心或其内部可能有格子點
è tz
則晶軸長度向量a,b,它和不共面之
三維平移對稱向量,七,去至少有一不同,就稱為“複雜"單胞
e.g面心立方單胞
e.g体心立方單胞
10 +5
X
X
X
X
C
X
x2
≈0
2
不會是用來決定單胞的單位向量
+3
't₂'
q=b=c,x=p=r=90°
但拉

ページ7:

<exs Try to prove there is no 5-fold rotational symmetric in crystallographics 結晶學
<pf) 此週期性重現晶格只用了1個王向量
ot
t
E
A
B
取格子點A和B當作旋轉軸
A順時針旋轉日 B逆時針旋轉日
E格子點將轉至M點,F格子點將轉至N點
⇒ mt = tcos9 + tcose +t ⇒ m=2cosO+| ⇒ CosD =
M 和N都是在同一水平方向週期性重現∴MN=mt相差整數倍七
m-1
2
| |< cos 0 < | >-1</|/|{| >> 4 <m<3 Am 2, 2 m & BE AD 4,0,1,2,3
e
2
<1>+<m≤3且m為整數,故m只能為1,0,1,2,3
m-1
m
Coso=
2
n-fold An
180°
n=2
Az
120°
n=3
A3
0
90°
n=4
A4
乙
60°
n=b
A6
2
3
I
360°
n= | A₁
⇒得證結晶學上無A5之旋轉對稱軸#

ページ8:

即不受熱擾動之晶体 eg,由液或氣緩慢冷卻凝固之晶体
不會有A5之旋轉對稱軸,但若由液或氣快速冷卻凝固之晶体
將出現受到熱擾動之晶体,最著名實例為1984年以色列 Shechtmann
取86%AX+14%Mn由液很快速凝固,出現了MnAls之金屈間化合物
Al
每轉0=72",五边形重現,轉5次 A&格子點完全重現
Al
Al
Mn
360°
⇒出現=
=
: 5之A5旋轉對稱軸,被稱為準晶
72°
Al
Al
來不及跑到正確格子點位置
2011年Shechtmann 獲得Nobel Price
(介穩狀態)
快速冷卻
86%A8+14% Mn合金液体
常溫時會得到兩種固相
凝固
大部分區域T↑ ↓.....為金屈鍵鍵結之合金
少部分區域↑→一个....為有明顯的之絕緣体(或半導体)
Al-Mn ⇒ 一定是形成共價鍵
EN:1.5 1.5
CB
Al Mn
e
e
VB
T↑ 熱運動動能↑⇒0个,
Al: [Ne] 35² 3p
故個Mn有可能和打断越多 Al-Mn之共價鍵,
共用e
c c c c s
Mn:[Ar] 453d5
5個A&形成共價鍵 使e-跳至CB
化學式 MnAls

ページ9:

Al
-Mn-
Al
Al
Al Al Mn
……
Al
Al
Al
Al
Al Alk Mr
Al
Al
Al
Al
Al
Al
Al
Al
Al
金属間化合物
Al-Mn合金之金属相
金属間化合物
快速冷卻後,整個材料不見有平移對稱向量之週期性重現
但至少有A2以上之旋轉對稱軸,具長程有序。即一材料只見長程有序(An=Az),
但不見週期性重現,就稱為準晶(quasi Crystal)
<Note> 用長程有序之物体就已包含準晶,更嚴格定義 不包含準晶
指週期性重現,將只有A1,A2,A3,A4,A之旋轉對稱軸
* Bravais 利用單胞之晶格常數將所有晶格分成七大晶系,若使用去,君,忘
ã b Ĉ
七大晶系將出現14種Bravais Lattice

ページ10:

(1) 立方晶系
a=b=C
3個A4(1)-簡單立方(P)
(cubic)|d=B=r=90° ☆4個A3
或等軸晶系
[最高旋轉]
11個單胞擁有之格子點之
七大晶系 晶格常數對稱軸 14種Bravais Lattice 格子點數目 結晶學位置
(isometric)|
[DDD]
+8×8=2]|[[[[][000]
[00][0]
(1)-③面心立方(F) +26=4 [[0][0]
李×8=1
(I)-② 体心立方(I)
(2)四方晶系 a=b≠C
個A4
(2)-④ 簡單正方(P)
ix8=1
[000]
(tetragonal) |α==N=90° | 21Az
(2)⑤体心正方(I)
148×8=2 [[[[][000]
(3)斜方晶系 a+b+c
3個A2
(orthorhonic)|d=3=V=90°
(3)-⑥簡單斜方(P)
$×8=1
[DDD]
(3)-四体心斜方(I) 48x8=2
[00][]
(3)-⑧面心斜方(F) 1+2×6=4
[00][转]
[10][0]
(3)-⑨底心斜方(C) $x8+2=2] [000][0]
(4)六方晶系
a=b+c
| 120
(hexagonal)
X=3=90°
1個A
21A₂
X
4
+
(4)-簡單六方(P)
N=120°
(5)三方晶系 a=b=C
或菱形晶系
x=ß=N=90°
1個A3 (5)-四簡單三方(P)
1個A2
360°
60°
2X3600×4=1
2^360°
2
[DDD]
(Rhombohedral)
菱形(R)
享×8=1
[DDD]
(6)單斜晶系 a+b+c
1個A2
(6)-②簡單單斜P]
李×8=1
[DDD]
(monoclinic)
d=r=90
B+90°
(6)-③底心單斜(C) zx8+/×2=2][000][/[0]
(7)三斜晶系 a+b+c
(triclinic) d++N+90° 只是A1 (07)-簡單三科(P $×8=1
[000]

ページ11:

<說明>格子點為數學上的幾何點,通常視為球狀。若是立方晶系之單胞,
角隅
8
8
1個稜边格子點,只有屈於該單胞,同時被4個單胞所擁有
面心
2
乙
一個單胞之結晶學位置,原點被規定放在左下後之角隅格子點,
8個角隅點各擁有文,總計擁有1個角隅格子點,
故可濃縮成1個角隅格子點,標在[000]之原點位置
最小數字
[000] D
[06]就是[[[],ā,古,為x,y,z之單位向量,根本不用標出
{{{{1}
濃縮成離原點最近的位置
☑
ㄨˋ
x
X
[0]
故fcc之3個面心格子點位置
其結晶學位置必須是[[][][]
Intrinsic t
Base-Centered

ページ12:

<Note>對立方晶系而言,要標出所有格子點分佈位置
最好將原點放在体心位置,如此單胞之角隅位置一定都是土
使用<///> 代表角隅點族群符號。同理,立方晶体之面心點族群<00元>
乙乙
若是立方晶系之稜边中點,點族群<=0>
可任意對調且改变正負
3!
有×2×2=12種
有×2=6種
Z
Z
六方晶系
Ab
C
上下
一個簡單六方單胞只有1個格子點
1) 120°
1.60
。
× 4+
360°
EX360
= x 4 = 1
360°
a=b=c, x=p=90°,d=120°

ページ13:

菱形晶系
B
ai
A
22.
AB = a+c²+ zac Cosp
=
= BC=AC
A3
13+90°
單斜晶系
三斜晶系
Az
a=b=c
|α=3=8+90°
只具A
a+b#C
-
α=r=90°, ß#90°
a+b+c
大部分之結晶學家將晶格分成七大晶系
(利用不共面之三個平移對稱向量在簡單晶格形成週期性重現)
但有些結晶學家認為只需分成六大晶系,此時A3SAG
(利用旋轉對稱軸形成長程有序晶格作分類)
二維六方晶格
Ab
Ab
A3
A3
若在重心延伸線具有原子,則為三維菱形晶格
但可用更高旋轉對稱之三維六方晶格取代

ページ14:

立方晶系單胞結晶學上最大特性為擁有4個不平行之A,旋轉對稱軸
通過重心,垂直正三角形為旋轉軸,每轉120°格子點重現
<Note>若是fcc,辺長為za之正三角形边長填入原子後,
角隅原子和面心原子互相接觸形成鍵結,形成最密堆積平面
故填入球狀金属原子後,1個fec金属單胞擁有4個最密堆積平面
會有3個不平行之最密堆積方向
(3)-④底心斜方
七大晶系中,在底心上會有格子點的只有
mm
(6)一③底心單斜
titz
在二維晶格中對應面心晶格[tuoso=Itz,為了避免变成正方晶格 $45
{
qe qe ti fb tź
tz
垃
45°
ti
(這樣才是比較小之單位晶格)
∴0+45°之二維面心晶格一定是長方晶格
0+60°
stz
t₁
(3)-⑨底心單斜中長方形單胞之上下平面
故底心晶格只出現在1(6)③底心斜方
也不可能有底心立方和底心正方(將有更小之晶格出現)

ページ15:

<ex>試證明為何不會出現(1)底心立方(2)底心正方(3)面心正方(5)体心六方
(4)試證明為何會有面心立方
<Ans> (1)因為可以用体積只剩一半之更小重複單位"簡單正方"取代
或由旋轉對稱知,只剩1個A4,2個A2,根本就是正方晶格
山A4
Az
tz
A2
ㄖㄖ
(3)先畫2個面心正方
可以用體積只剩一半之
更小重複單位“体心正方”取代
(4) 若圍出一個更小單胞体積v=
但卻是体心立方(1個A4,2個A2),
,
無法取代1個面心立方單胞(3個Ay)
.

ページ16:

<Note> 三維晶格中之面心立方單胞不是由二維之面心晶格变出
x
Z
E₁+€₂=[100]
七=[]
而是由二維正方晶格变成
-
t₁ =tz
44t2=90°
t₂ = [1 // 10]
tz:
2
:o]
ts[0]
+6=[0]
即立方晶系,正方晶系,斜方晶系
只有正交系統,才會出現X=3=1r=90°會出現"体心"Bravais lattice
∵至少都有3個A2 3個A2旋轉軸相交於“体心格子點
<Note>利用二維平面晶格,配上平面外另一平移對稱向量,將出現
(1)正方
①簡單立方
(2)立方
(3)六方
(4) 斜形
(5)面心
(18)
1411 Bravais lattice