ページ3:

bcc
(1)通過稜邊方向[100]
fcc
(1)通過稜辺方向[100]
重覆距離=a
a
線密度=ā
重覆距離=a
線密度=0
a
線堆積比=
2R ZR
a
4R=0.866
a
線堆積比= 20=42=0.707
a
R
√3
厄
(2)通過面心方向[110]
a
線密度=
重覆距離=za
(2)通過面心方向[110]
Ea 重覆距離=
2
線密度=
√za
a
線堆積比=
2R
2R
abl
D.61 | 線堆積比=
2
-x2R=
=
-x2R=|
√za
4R
√za
4R
(3)通過体心方向<11]>
a
(3)通過体心方向<11>
a
覆距離=-a,線密度=
2
重覆距離=3a,線密度=
Ba
√3a
堆積比=20
4R
-×2R:
Ba
√3
(狀)
線堆積比=
2R
X2R=-
== 0.408
√3a

ページ4:

*立方晶系結晶平面Miller index表示法:一晶面和x,y,z軸相交
取截距之倒數,化成整數後,代表該晶面之Miller index,要用( )
右圖正方形平面和X軸截距+1(a),
Z
和己二軸完全平行
即此正方形平面不可能和yz軸相交,
表示和y正軸之截距為0
X軸截距y軸截距軸截距
+1
取倒數
-18
0
-18。
X.
N
X✓
y
∴ 正方形平面Miller index = (100)
而過原點之晶面,不可能標示出Miller index ''x,y乇軸之截距都為0
⇒
1=1000000),毫無意
-)
201,毫無意義可言,必須重取坐標軸
D
D
D
X軸截距y軸截距 軸截距
|-
取倒數十
-18
0
8-18
D
X
∴正方形平面Miller index = (Too),且只要重取坐標軸就可变成(100)
=

ページ5:

再看正方形平面X軸截距軸截距軸截距
2
取倒數 2
8 -18
2
0
正方形平面之Miller index為(200)可不必約成(100)
D
若原子填入格子點,(200)和(100)之原子排列可能不同
e.g. S.C.
前後之正方形平面(100)或(T00),
都有原子佔據4個角隅,
90°
X
14
具有相同之平面密度=
360°
1
=
2
a²
a
若是(200)平面,絕對不可約分成(100)
∵平面密度=0
x.
Z
但若是bcc金属,(200)平面的平面密度也=
就一定要約分成(100)
a²
故bcc金属相鄰平行平面之平面間距don=-
a
<cf> S. C. 金属相鄰平行平面之平面間距dio=a

ページ6:

N
a²
而fcc金蛋(200)平面密度 =
(100)平面的平面密度也==
180°
360°
x4
a
=
故fec鏝(200)和(100)、結晶學上等義
一定要約分成(100)
(110)
X
x
(T1D)
x
X截距截距已截距
y
平面密度=
2
2
√
2
X截距截距已截距
取倒數1
8-18
|-
取倒數1
0
|- =
=
I
對立方晶系而言,只要是長方形平面族(具有相同原子排列),
"
3個Miller index 可任意對調並加上“士
圖示之二個長方形平面
都屈{110}平面族
8 -18 -

ページ7:

*立方晶系重要之平面族
①正方形平面族 {100},一定包含6個平面
② 長方形平面族 {110},一定包含12個平面
③ 正三角形平面族{111},一定包含8個平面
x
x
立方晶系晶面Miller index 特性:
x
①Miller index完全相反之平面為平行平面
②原子排列相同(即結晶學上等義之平面)屈同一平面族,用{}表示
☆③取和x,y,z三軸相交截距之倒數化成整數
代表平面Miller index只有一個意義:
[h&l]
日
晶向[uuw】位在晶面(hel)內,二者內積恆為。
[uvw]
RP hu+kv + lw = 0
若是立方晶系,結晶平面之Miller index,
(hkl)
就是此晶面之法向Miller index

ページ8:

簡單”正交系統"晶格相鄰平行平面之間距de
和簡單單胞迅長a,b,c之關係:
ĥ ľ² ₤
Anke
dre a² + b²+ c²
2
<pf> Z
(hkl) B
XX軸=x
DXy軸=阝
D
r
13
OD *Z$22=
A X
h尺,又分別為平面和x軸,y軸,已軸截距之倒數
0
d
D
D
D
k
Anke
duke
COSB=7/
·B
D
D
Cosr=
duke
c
2
Cos³α +Cos³ß³ + cos²=r=|
2
idneel?idniej?idneei
2
2
|=> duke
ľ
+
==>>
b²
+
若為簡單立方:a=b=C=⇒ =
+
+
hke
=
a
hke
duke Jútrété #
+

ページ9:

x
一向量和三軸方向之平方和恆為1
n
A
2
Cos°α + cos²ß + cos²r
2
l
2
√ermin²
m
2
e
2
2
2
+
2
2
m
2
2
Termin²
m²
2 2
imin² iiin²
l+m+n
+
a
2
+
n²
2
2 2
√eimin²
2 2
RFm²+n
但是用在bec金屋和fcc金属,dheet文
a
1715] S.C. Fel, duke Jítkezé
#
2
必須作修正
a
h+k+l=11+5=2, dike
Jh² + k Fé
bcc
{
a
h+k+l=***, duke =
2赶
∵在bcc 相鄰二平行平面間,會有一個通過体心原子,使其平面間距減半
e.g. 在(100)中間會有一個通過体心之(100)
Z
但(110)於相鄰dnes處並無原子通過
222
a
dioo
=
2
の
d100 =
a
a
2x/17+0+0² 2
a
dilo = √171702 √z

ページ10:

fcc金属,若h,kl為全奇數或偶數,才有dule=
但若hk,l奇偶相混,則dnee
=
a
Jie ze
屁赶
a
2趕
∵在fcc相鄰二平行平面間,會有一個通過面心原子,使其平面間距減半
Z
Z
y
x
dioo
d100 =
a
2 2
a
2× √17070² = 2
X
due
a
a
+
2x/17/70² 2√2
∵∵ fcc (111) 是最密堆積平面,已通過三個不平行之面心原子
∴二個相鄰(111)之間不可能再有原子通過
dili
a
a
Z
x

ページ11:

<ex>證明立方晶系結晶平面(hel)之Miller index
就是該結晶平面法向[uw]
Z
R(0,0,0)
P(A 12,0,0)
<pf>
[UVW]
a
C
h
l
Thke! (X, Y, ZI
固定點(Xoryo,to)
10188
k
(hkl)=/E-15)= [X-Xo, Y-Yo, Z-Zo] - LITTED TEED [UNW]
app) * [u'v'w']. [X-Xo, Y-Yo, Z-Zo] =
U'XX;) + \"Y-Y;) + W^(Z=Zo)=0 => Ux+by+W'Z = U'%o+vyo+W'Z
**4 10 2 4 %6+VY6+WZ; =>
K
UXo+VYO+W'Z
b
Q10, k
,0)
x +
+
W
US6+1 | +WZ; Z=1, *} {
UXo+VYO+W'Z
再令
2
W'
UXo+VY6+WZ;=", U'Xo+VYO+W'Z;=U, UX6+VY,+W'Z; =W
=> Ux+vy+w==/
b
(X,Y,Z) ADFIED (LKR) ITET, 4 P (1,1,0,0), Q (0,1,0), R(0,0, & A
h
l
k
u( ₁ = 1 => u =
日
ai
-)=1⇒ V=
|=|
b
C
£50+ a=b=C] = [u mw] = [A & ] xq=[h&l]
aaa.
#
法向 Miller index 取整數

ページ12:

得證立方晶系平面之Miller index 就是平面法向 Miller index #
若不是立方晶系(a=b=C 或a+b+c)
[hk ]
C
(hkl)
^=[xy]要寫成[xa,ghzc]
但內積[/].[xaybzc]=D
故任何正交系統包含立方,正方,斜方)恆有nx+ky+z=0
* 正交系統(包含立方,正方斜方)一平面(hel),其法向量一定是[长长】
若有一個點(x,y,z)位在(he)平面上,則一定滿足台x++z=1
為數學上之截距式
u
a
W
<cf>用平面法向量[hkl]和(he)上一向量[xy]作內積
滿足hx+y+z=0平面之Miller index (hl)要用截距倒數的真正理由
注意若是立方晶系平面上一個“點(xyz)”,平面方程式為hx+ky+z= a()
單位長度
正交系統(直角坐標系統),二不平行平面(hikl)和(hzkzle)夾角日
=
二不平行平面之二個法向量[][]之日
b
[h, k, &₁]
兀一日
[hakz_lz] THE BITI DA O= [h, k, l,]X [hakzlz]

ページ13:

<ex>正方晶系,已知=1.4),試計算正方晶系二平面(101)和(111)之夾角
<Ans>
(101)之法向[大]
[coa]
化成整數
(111)之法向[C
ac
[cca]
故正方晶系日=(101)X(111)= [coa][cca]
2
Cia
.
√c²+α²
cose
=
||× | √
√С²+0²+α² / c²³C²³a²
√2c³ta²
2
同除²
√11.41171
0.775 => 0=39.2°
√2 (1.41)²+1
<cf)若是立方晶系,要求(101)×(111)
z
2
coso = √17+0+1²*|1+1+1²
√
√3
⇒ 0 = cos(+33)
(醬)=35.3"
<ex>試證明bcc金属之(111)平面並未通過体心原子之球心
<pf>
bcc之正三角形平面(111)
有一個點(x,y,z),只要位在(111)平面
一定滿足平面方程式hx+ky+z=1(a)
3
X
2 2 2
但体心(之三)代入: 1x2+1x÷+1x÷=泛
主
y
表示(111)平面並未通過体心原子之球心#

ページ14:

001
月
之重心點(3533)並非体心點(元)
100
010
平面密度= 擁有之原子数
60°
360°x3
√za
√za
平面面積
√3 (√za)² √3a²
#
√za
若將截距延伸立,变成主對截距取倒數即為(hel) = (号号号),
00
2
IZ
新的平面方程式用体心坐標代入:
3
·00
D
+
21
1 x+ x2=1,表示△會通過体心
-x- 十
3^2 3^2 3
bcc之(111)平面間距
32
N
222
但因1+1+1=3(奇數),應使用修正後之
a
a
Anel = 2jh+k+l? 253
则发
在二個正三角形平面(角隅)
可插入一個通過体心的
正三角形平面
2
=
a:

ページ15:

<ex>畫出立方晶系4個不平行之{111}平面
<Ans>
Z
Z
-|
y
电
y
X (111) // (TTT)
y
(TIT)// (LTI) (ITD)/(T1)) (TTV)/(LIT)
<ex)試求出立方單胞之平面Miller index
13
X軸截距y軸截距軸截距
5
12
12
点取倒數1
4-3-12
切
y
5
|
12
12
5
化成整數5
12
8 +8
<ex> EX" th=145BB12) π, = [X,, Y, Z,], πz = [X2,Yz, Zz]
~hx₁ + ky₁ + lz₁ = 0
位在同一晶面(h)上時,一定會有(hx+ky2+2=0
.
解聯立方程式,可得此二共平面之晶向所在平面之Miller index (hel)
☆ hikil=
Zi. Zi Xi
Y₂
Y₁ = Z z Xz X z Yzl
Xi Y
:

ページ16:

<pf>
為了得到h和友的比值,必須先消去人,用①xzz+@x(1):
hZzX, +ky, Zz-hz,Xz-kYzZ₁ = 0 => k (Y, Zz-Y2Z₁) = {(Z, X2-Z2X1)
h
k
|Y, Zi
| Z₁ X₁
=> k
=
I Y z Z z l
hl
=> | Zi Xi
|Y, Zi
Z2 Xz
| Zz X z l
| Y Z Zz |
同理,為了得到h和l的比值,必須先消去走,用①xyz+@x(y):
hx;Y2+lyzZ₁-hXzY₁-ly, Zz=0 => h(X, Yz-XzY,) = l (Y, Zz-JzZı)
h
l
=>h
| Y, Zi
=
l
=> Y, Zi
IXI YI
I Xz Yz
| Yz Zzl
2
1 X 2 Y ₂ |
h
k
l
由③和④:
YZ
|Y, Zi
IXI Yı
=
常数C
| YzZz
YzZz
lXz Y z l
Zi
k =
⇒h=C | | |, - C√| X|, l = C |x| | |
Y z Z z
PP hikil
=
:
x
| Y z Z z Z z X 2 X z Yzl #
Y,
Xz Yz
若有另一向量诺=[xoyoo]和访,店都不平行,也在同一平面(hke)上
則一定會有
|Xo Yo Zo|
|x₁ y₁ Z₁ = D
IX z Yz Zz l
#

ページ17:

<pf> ☺ to te tz (hkl) I :: hxo+kyo+lzo =0
Zi
YII
4} h= C |4|17/1, k = C |² 1 × 1, l = c | | | | |
Y z Z z
Y Z
Zz
Z X
=> CX 141271 | + Cyoltz/2
Yz
to
IX, Y,
'lXz Yz
lXz Yz
= 0
制代回
X2/+C₂
同除C⇒ xo
|Y, Zi
IXI Zi
IY z Z zl
| Xz Zz l
+ Zo
IXI Yı
| Xz Yz
0.得證xy
|Xo Yo Zo
Z₁ = D
lXz Yz Z zl #
112
DÙ
414
·10
'D'
取倒數
<ex>試求出立方單胞之圖示平面 Miller index
<Ans>
用原來之坐標軸不易看出平面截距
七个 (323) 故必須移動原點至D點延伸至xy平面,
TN
仍與原平面之 Miller index 相同,和面積大小無關
X截距 4截距截距
|T|~
4
mamı
|
-IN
2
4
-2
2
化成整數
b
4
b
<Note>
若看不出要標示 Miller index 和三軸之交點,可直接利用數學上的外積
√₁ = [0 & 1/1]
4 2
}
-3 -| 3
√ √₁₂ = [— — —
| |/ (hkl)=(323)
=

ページ18:

*同一平面族{hel}之各平面,表示各平面原子排列相同
在結晶學上為等義之平面,一定會具有相同之
擁有之原子數
① 平面密度 (planar density)
平面之面積
② 平面堆積比(Planar packing ratio):在指定平面上,被圓形原子覆蓋面積百分比
平面堆積比=擁有原子數×TR²
=
平面密度×R²
平面之面積
|S.C.=A=2R
fcc:√2a=4R
bcc:√3a=4R
2
人
a
a
3
蹇
2
AMER² EXER
R
×100%
2兀R²
-x100%
(2R)²
(2√2R)²
= 78.5%
=78.5%
| [
2
ER × 100%
R
=58.9%

ページ19:

√za
√zaz
a
√2a
2
<√ža
√za
888
11
2
{EXTUR²
2XTUR²
2
√zaz
√zá
TUR²
√(2R)²
= 55.5%
X
100%
2πR²
√(√ER)²
= 55.5%
X
(100%
=
2
2
XTUR²
2
ERI
=83.3%
* 100%
2x5
XTUR²
2x4
2x2
2
√3a
TUR²
√3a²
2
*TUR²
XTUR
√3a
2
4πUR²
TUR²
2√3 (2R)²
X
√√3 (2√2R)²
· 100%
2√3
2
2130 R² * 100%
=45.3%
3
2
√3a
XTR
Z
=90.7%
=
3xTR²
6√3Ŕ
× 100% = 90.7%
=34%
a=2R
bx
4

ページ20:

金属晶体結構丨重要之平面族 平面密度|平面堆積比|平面問跎dee
{100}
78.5%
d100=a
a²
正方形
S.C.
{110}
√za²
罚一
55.5%
dup =
a
長方形
^ {111}
√3a²
45.3%
divi = A
正三角形
相鄰平行平面(he)之
☐ {100}
a²
正方形
{110}
√
bcc
a
長方形
{111}
正三角形
☐ {100}
a
正方形
{110}
√2
fcc
長方形
4
{111}
√3a²
雞←响外
a
58.9%
doo:
2
83.3%
-
dus = ₤
a
2
a
dili
-
= 35
34%
2
√3a
78.5%
dipo = a
a
55.5%
duo=
90.7%
dai - Â
正三角形
hcp之原子
a3
hcp
(0001)
2
√3a²
90.7%
doool = = =
視為球狀原子
Az

ページ21:

*六方晶系之結晶方向和結晶平面e.g,最密堆積之hcp金属
Miller-Bravais index TEATR
[Urtw]
α, Az As C
A3
a
Az
Miller index 17A=="
[U'V'w']
A₁ A z C
結晶平面(hie): hep晶面和a1,a2,as,C軸相交
截距之倒數化成整數
ã, *ãz¥ã3=120°
ā₁ ≤ c² = α₂ × c = ā³ *c = 90°
a3
-Az
A3
Th
az
Th
ai
az
單位向量長度=2R
a₁ =a2=A3=2R
az
· A3

ページ22:

二度空間,在同一平面使用3個不平行向量,將會有限制條件U+U+t=D
e.g.ai方向之單位向量ai,在az和as都各有一單位長度的分量
誠
x=/e-zās' => '+Q+ I = 0
2
A3'
A3
ai
√zã₁ + √ Q₂+ à = 0
√
Az √z Q, = √2 - 03
az
(0,1)
(1,0)

ページ23:

左圖使用三維坐標系時,3a1=[300]
'aj
相當於四軸坐標系[ZTTO]
-A3
即三維之[100] = = [ZTTo]
3
|5) £}£, 3āź = zāź +(- ā₁)+(-α}') ⇒ [010] = =}{} [T2TO]
故六方晶系三維坐標系任何一晶向之 Miller index
(三維和四維的
Al Az C
[U'V'w'] = u' [100] + V'[010]+ W'[001]
== [2TTO] + V²* [T2T0] +W[0001]
C軸是一樣的,
其中
zu-ví zví-Ú -u-V
w']
3
3
3
a
Az
a3
C
FRAX' SEARŹ Miller Bravais index = [u&tw]
v = = = (2v-u)
t = √ √
3
W = W'
-(U'+v')
U++恆為口
sú=zu+v
{v=2v+U

ページ24:

ページ25:

ページ26:

A3
D
OD
之法向
= OA+ AD = OA+IAE
=
||
0吋+200= [100]+[010]
-
= {[200]+[010] = = [210]
= [[[[0]+/x5[T2T0]
= 1/2 [1010] 1 (1070)
D
a
DE
B
[010]
Az
用三維坐標系表示之平面Miller index(100)≠法向Miller index [210]
且平面上之010]和法向[210]內積不為D
只剩方向010]落在平面(100)上,內積=0
雖符合Miller 取截距之倒數作為平面Miller index的精神
但用四維坐標系表示之平面Miller-Bravais index(1010)
就是法向 Miller-Bravais index [IDT0]也滿足平面上之az之單位向量
[T2T0]和法向(10D)內積 = D

ページ27:

Ⅲ型稜柱面族 {1120}(type of prism plane family)
.C
a3
Az
包括六個I型稜柱面
(1120)/(1120)
3個不平行之平面 (1210)/(T2T0)
(2110)/ (25T0)
ai
錐面族(Pyramidal plane){IDT1}包含之錐面,有6個彼此不平行之平面
a₁, A2, A3 FR
(1071) // (1011)
(01T1)/(0711)
(TDI) //(T101)
a3
C軸反號
(1071)
(LOTT) // (LOTT)
(ITT) // (ITT)
az
(ITOT) // (ITOT)
ai

ページ28:

ページ29: