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第6章:円運動と慣習力量( SS6.1 運動 ① 等速円運動 ○一定の速さで円軌道を描く運動を等速円運動。 →一定の速さで運動しているにもかかわらず、加速度 もつ加速度運動。 ○加速度はベクトルであり、速度(速度ベクトル)の 時間変化を表す。 ○速さが変わらなくても速度(向き)が変れば加速度運動。 ②向心加速度と向心力 AS r. 01 11=171 = √ ♡2 r r ヘア 15 Q VF ○♡1のように半径との円周上を等速円運動している 物体が点Pから点Qに距離As、角度10移動し た場合を考える。 点Pでの速度ベクトルフと点Qでの速度ベクトル ✓のなす角は、2から<POR=∠APR=40 となり、中心角と同じ40。 ○よって、△=一、、の関係は3のよう になり、三角形の相似条件「2辺の比とその間の角が 等しい」より、AV、壁のつくる三角形とΔOPQ は相似形となる。 相似な三角形は対応する辺の比が等しいから1階に 171=vとして、r:As=v:10での関係より 141=¥4 (6.1)となり、 ♡3 -Vi 加速度の大きさは以下となる。 = lal = lim Av = lim Y As 12 = (6.2) At 0 At At or an r VE ♡4 40 -Vi ° 9 等速円運動の加速度の向きについて考える。(♡4) む→〇の極限では、AO→○となり、ヘアは陰、体に垂直 に近づく。aとATの向きは一致しているから、加速度は 円の中心へ向いている。 等速円運動の加速度は向心加速度と呼ばれる。 等速円運動する物体はつねに、速度に垂直な方向 (円の中心に向かう)の向心加速度をもつ (♡5)。 半径r、速さひで等速円運動をする物体の向心加 速度の大きさは、 a = 22 (6.3) a₁ である。 2 ♡5
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③曲線上の運動 等速で回転している滑らかな円盤上の物体を考える。 物体は円盤の中心と長さのひもでつながれており、速さで等速円 運動している。 円盤の外で静止している観測者慣性系の観測者)が見た場合、 物体は円盤とともに加速度運動(等速円運動)しているから、 鉛直方向の運動方程式 N-mg=0 半径 い T= m_1 (6,25) (6.26) となり、向心力を受け、等速円運動していると理解できる。 一方、円盤上で静止している観測者(非慣性系の観測者)は、 張力Tを受けているのにもかかわらず物体が静止していると見なすから、 張力とつり合う力(みかけの力、慣性力)が左方にはたらいている と考えなければならない。 NAY 鉛直方向の運動方程式 半径 " N-mg = 0 T-m = 0 (6.27) (6.28) となり、慣性系の観測者と同じ形の運動方程式を得る。 →向心力とつり合うようにして生じる慣性力を遠心力。
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物理学 ④ ベクトル積 A×B 第6章:円運動と慣性力 1×BIsing 5 は平行四辺形の面積 に等しい Do B À BA-AB + ○2つのベクトル=Ax+AY+AB=B2 By+Bzkの積×女、次のベクトルとなる演算を 定義し、これをベクトル積(外積)とよぶ。 (1)成×Bの大きさは、成を2辺とする平行四辺形の面積に等しい。 (2)A×Bの向きは、成官に垂直で、Aから官へ右ねじを回す ときの、ねじの進む向きである。 ○定義(1)から、官のなす角をθとするとベクトル積の大きさは |AB| = |A||B| sin ○定義(2)から、x=-B×。ベクトル積は演算の順序を変えると符号が 変わる。 ⑤ 速度と向心力 ○xy平面内で原点を中心に半径との等速円運動する 質量mの粒子の速さ(接続方向の速さ)Vは、角速度 13 y の大きさをCとすると、S=ro より dt V = ds = r de = rw (6.10) また、粒子に働く力(向心力)の大きさは X ♡1 F=m²=mvw=mrwa (6.11) ベクトル積を用いると速度および向心力は v=wxr, F=mwx (wxP) (6.12) √= x² ・角速度ベクトルの向きは、紙面に垂直で裏から表の 向き(♡1)。 ベクトル積の定義からも x=171=10×P1=1wlilsin90°=rw F=mwxv=mw (WF) F=1月1=ml×1=mrwa (6.13) x ♡2 ○ベクトル積を用いると向心力が円の中心へ向く (♡2) ⑥ 周期 。 等速円運動をしている物体は、一定の時間で1周して元の位置に戻る。 1周に必要な時間を周期 ○物体の速さをひとすると、1周の長さは1=2Trであるから、周期は T = = = 2πr また、v=rw より T = 2 でも求まる。 (6.14) (6.15)
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S.S 6.2
曲線運動
○速度の大きさと向きがともに変化する曲線運動を、振り子を例に紹介。
0
○ひもの先におもりをつけ天井からつるし、少し傾けて手を
離すとおもりは振り子運動をする。
曲線(円の一部)を描き、その速さは時間とともに(位置
によって)変化する。 8.7(1
おもりにはたらく全加速度は、速度に垂直な方向の
加速度arと接線方向の加速度htの和で
a=ar+d
(6.16)
○ひもの長さをと、ひもが鉛直線との角度をなす瞬間の速度をVとすれば
速度に垂直な方向の加速度arの大きさ arは
ar = 12
(6.17)
となり、
おもりの速さ(位置)によって変化。
振り子運動は重力によって引き起こされるのであるから、接線方向の加速度
atの大きさ
at は
at=gsino
(6.18)
となり、
振り子の角度(おもりの位置)によって変化する。
全加速度
の大きさaは
a = {(x)+(gsin()
(6.19)
ひもとのなす角をDとすれば
Ø=tan-1
rgsino
aの方向が求まる。
22
○振り子は、速度が変化する曲線運動。
(6.20)
となり,
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物理学 第6章:円運動と慣性 S.S 6.3 ① 慣性力 慣性力 ○加速度運動をしている座標系(非慣性系)では、慣性力とよばれるみかけの 力が現れる。 この慣性力を直線上の運動と曲線上の運動に分けて具体的に 紹介する。 ② 直線上の運動 。 電車が右方に一定の加速度の大きさんで加速しているとき、ひもは鉛直線 と母の角度をなし静止。 mg X 電車の外で静止している観測者が見た場合、おもりは電車と ともに加速度運動しているから 「鉛直方向の運動方程式 Tcoso-mg=0 (6.21) 水平 " Tsino = ma (6.22) となり、張力の水平成分Tsin を受け、加速度運動していると 理解できる。(♡1) →a ma 31 ma →a mg (♡2)
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物理学 ° 第6章:円運動と慣性力 等速円運動をする物体にはたらく力の大きさは、その質量をと すればF=ma より F= my (6.4) となり、力の向きはつねに円の中心へ向いている。 →向心力 ③角速度と角加速度 ° Q 物体の回転運動を扱うためには、角度変化を表す 角速度と角加速度を用いる。 →どちらもベクトル。 P 物体の1点が回転し、時刻からなの間に角度もの 位置PからOfの位置Qに移動したとする。 このときの平均角速度の大きさは W = of Oi 40 tf-ti = (6.5) At と定義され、瞬間角速度(角速度)の大きさは lim 40 do (6.6) At 0 At dt と定義される。 。 。 角速度は「単位時間にどれだけ回転するか」を表している。 角速度の単位はrad/sであるが、radは無次元量なので、1/Sが 角速度の物理的な単位。角速度は角度が増加するとき(反時計まわりに 回転するとき)に正となり、角度が減少するとき(時計まわりに回転 するとき)に負になると定められている。 ・通常の加速度と同様にして、平均角加速度の大きさは X d=wf-wi dw (6.7) tf ti dt と定義され、瞬間角加速度(角加速度)の大きさは d:limAw=dwd20 41+0 At dt (6.8) dt2 で定義される。角加速度は「単位時間にどれだけ角速度が変化するか」を 表している。 0 wa sy 0 ・角速度、角加速度の向きは、角度(円運動の半径 とX軸とのなす角)が増える方向に右ねじを回すとき、 右ねじの進む向きと定義する。
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