質問者じゃないですけど理解できました。
なんとなく流してたところが理解出来て良かったです。
よねさんもD→Aさんもありがとうございます。

なんか文字ばっかになったんで少しだけイラストも。

あ、dy/dxは「yをxで微分したもの」って意味です。
dy/dx＝d/dx(y) と考えられます。

ここで、yをxで2回微分したものがd2y/dx2です。よく式を見てみると、dは2乗になっていますがyは2乗にはなっていません。
yを2回xで微分＝d/dx ・ d/dx ・(y) だからです。dxは2乗になりますが、yは2乗になりません。

少し複雑ですが、また分かりにくい点があったら質問してください。

その先生のコメントはかなり的確です。

2回目のd/dx(dy/dx)を計算するとき、d/dxという記号は、「xで微分する」という意味ですが、
今回のように媒介変数表示の場合、dy/dxがtの式になってしまっており、xで微分するのが不可能です。

なので、d/dx(dy/dx)は計算不可能なため、式変形をします。

dy/dxはtの式なので、tで微分することは可能です。なので、まずはd/dtという、tの微分の式を作成します。
つまりd/dx(dy/dx)＝d/dt(dy/dx)…と変形します。しかし、このままでは＝ではありません。
dyとかdxも、ただの数字のように扱っていいので、勝手に分母にdtを作った分と、分母からdxを消した分の後処理をしないといけません。

なのでd/dt(dy/dx)の後に、×(dt/dx)が掛かるのです。

なれるまでは一見意味不明の式変形なのですが、丁寧に説明したつもりですので、何度か読んで理解してください。

私も最初かんちがいしてたんですけど、、
自分で勝手に写真のように理解してました。
今だに正確に言えないです、、
すみません。