わかりやすくありがとうございます
理解できました！

書き出さないと解けない問題もありますが
これは、わざわざ書き出す必要はないと思います。

自分の説明分かりにくかったら、他の人にもコメント
求めた方がいいですよ。自分も勉強になります
頑張って下さいo(^▽^)o

(2)○0以外が異なる数字のとき
→3！ー2=4 とは、並べ方の個数です。
例えば、0・1・2 を選んで、取り敢えず 3！
そしてこれから、(012)と(021)という並べ方を引く
という感じです。
書き出された中から、0以外が異なる数字は6通り
よって4×6
○0以外が同じ数字のとき 3ー1も同様で
例えば、0・1・1 並べ方は3通り
そこから(011)を引く
という感じです。
書き出された中から、0以外が同じ数字は4通り
よって2×4
排反なのでこれらを足しています。
多分こんな感じです(･･;)

書き出さなくても解けますが…
一応(1)の問題です。自分の考え方なので
他の人のも参考にするといいと思います。
少し丁寧めにやってます。くどいかも(笑)

解答の説明としては
(1)○すべて異なる数字のとき6個の整数が、
→例えば、1・2・3 の時、並べ方は
3！=6通り 出来るということ。
そして、書き出された数字の選び方を見ると
すべて異なる数字は4通り だから 6×4
○2つ同じ数字のとき3個の整数が
→例えば、1・1・2の時、並べ方は
3！/2！=3通り
そして、書き出された数字の選び方を見ると
2つ同じ数字は12通りあるので
3×12
これらは排反より
6×4+3×12=60
ということだと思います。