どんな漸化式でも当てはめられるように、一般的な形で書いています。

では、なぜ特性方程式で「an-2」が出てくるのかを今から説明します。

いちばんわかりやすいやり方はこれでしょう。

初めに言えば、特製方程式は手段に過ぎません。目的が果たせれば手段は何でも良いのです。
では目的とは何かというと、与えられた数列を、何とかしてA(n+1)=1/2A(n)の形にしたい！ということです。等比数列のかたちにしたいということですね。