付帯状況ですか！
気をつけます！！わかりやすい説明ありがとうございました<(_ _*)>

このwith は付帯状況のwith です。
直訳をすると、｢重要な違いがあった二回目の調査が行われた。｣ですが、分かりにくいので意訳しています。
例えば、a woman with long hair なら｢長い髪の女性｣になります。
つまりwith の前の名詞を後ろから修飾します。
一概に｢が｣といっても逆接とは限りません。今回の場合は逆接ではないので気をつけましょう。また、with は意味の多い単語なので、付帯状況でない用法で使われることもたくさんあるので気をつけてください。