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基本 例題 84 2次曲線の極方程式
を l とする。点Pからlに下ろした垂線をPH とするとき,e=
な点Pの軌跡の極方程式を求めよ。 ただし, 極を0とする。
OP
a,eを正の定数,点A の極座標を (α, 0) とし, Aを通り始線 OX に垂直な直線
であるよう
PH
基本 81,83
指針▷点Pの極座標を (10) とする。 点Pが直線lの右側にある場合と左側にある場合に分け
て図をかき, 長さ PH を 1, 0, αで表す。 そして, OP=ePH を利用してr= 0 の式)を
導くが,<0を考慮すると各場合の結果の式をまとめられる。
vl
P(r,0)
H
A(a, 0)
解答
ℓ
点Pの極座標を (r, e) とする。
点Pが直線lの左側にあるとき
PH=a-rcose (*)
点Pが直線lの右側にあるとき
P(r, 0)
L
H
OP=ePH から
PH=rcos0-a
よって r(1±ecos0)=±ea (複号同順)
1±ecos0≠0 であるから
r=±e(a-rcos 0 )
A(a, 0) X
ea
r=
①または
tea≠ 0 から
r (1±ecos0)≠0
π
1+ecos 0
ea
-r=
1-ecos 0
注意14/02/23のとき、
図は次のようになるが,(*)
は成り立つ。
ea
e
②から
-r=
②'
1+ecos (+)
P(r, 0)
H
点(r, 0) と点(-r, 0+π) は同じ点を表すから, ①と②は
同値である。
よって, 点Pの軌跡の極方程式は r=
ea
1+ecos 0
-a-
X
-rcose
検討 2次曲線と離心率
1. 上の例題の点Pの軌跡は, p.122 基本事項から、焦点 0, 準線ℓ,離心率eの2次曲線を表し,
0 <e<1のとき楕円, e=1のとき放物線, 1 <eのとき双曲線
である。このように, 曲線の種類に関係なく1つの方程式で表されることが利点である。
2.例題で,点A の極座標を (a, π) [準線 l が焦点の左側] とすると,上と同様にして、点P
