リーマン積分がわかりません (1)、(2)誰か教えてください

問題1:0≦x≦1に対してf(z) を次で定義する: ak=0または1とする. f(x)= IM8IM³ k=0 ak ak 5k (0 =) X= と分割してできる区間 (1) S1 を求めよ. (2)Sn+1=Sn+ n k=0 このf(z) は単調増加関数なので積分可能である。 区間 [0, 1] を 0 1 2 3 k k +1 2n-1 2 2n' 2n' 2'2n' 2n 2n ak 2k 上記以外、つまりak=1となるkが無限個ありæ= k k +1 2n' 2n 1 1 25+1 とかけるとき , 2n 2n - を底辺, 高さ (7) の長方形のk = 0 から 2" - 1 ま 2-1 k での面積の和 (リーマン和) つまり Sn=1 (2) 1/2を考える。 2n k=0 = 1) 8 Σ器とかけるとき k=0 が成り立つこと (証明は不要) を用いて [ f(x)dx を求めよ.

1枚目の式を展開して2枚目の式にするための導出の仕方を教えて欲しいです。よろしくお願いします

40 -σrr0t+(σ₂ + dor)(r + dr)ÃO(t + dt) - 2 ootdr sin - 2 2μozrdrA0 = 0

例4.28について質問です。(1)のfx^2＋fy^2＝、、の式までは分かっているのですがそこからいきなり(2)のラプラシアンの式がどうやって出るのかわからないです。どうか教えてください。

19:06 3/3 変数変換を学んだついでに 4.2.7. 変数変換におけるラプラシアンの表示. : 全単射, C2-級, = -1 とする. 関数 f(x) : D → R, g(s) : UR は f(x)=g(y(z)) = g(s) = f (d(s)) をみたしているとする. [5]. f(x,y) = √√√x² + y² = r = g(r,0). (**) of fi = oni, dxi ga = asa のように書く. 添字の,上下, 文字スタイルで区別がある. ここでは∇f = (....fi....), ∇sg = (..., ga,...) は行ベクトル . 逆写像のヤコビ行列は Þ : ((R”, s = (… .., sª,...) > ) U → D ( C (R¹, x = (..., x², ...))) となる.このとき連鎖律より次の関係式が得られる. f(x) = g(s(x)) * x³ THALT, fi = Σa ga$iº. & 5K füi = Σa ((Σ3 9aß$?) sº + 9asi). B (1) ▽zf = ∇sg.d.同様に∇sg = ∇f.do. (2) Axf := Σi fü = Σa‚ß Jaß(Vrsª, ▼+$³) + Σa 9aArsª. 2² 8² Ər² 20² 9回目終わり 例 4.2.8. R2 の極座標でのラプラシアンの表示 重 : UC (R2, (1,0)) → DC (R2, (x,y)), I = 重-1 πr TO cos -r sin 0 d = Yr yo sin 0 rcos o TI Ty cos o sin 1 T dy = = (d)-1 200 - sine cose) == (-²2) r 注: r = x2 +¥2,0 = tan -1 y の微分はしなくても煙は求められる. I (1) (fæ, fy) = (gr,90) · dV. (fz, fy) = (gr, ¼90) U, U = (- 特に fz + f = g + /1/129. 注: d では1列+2列 (1 行 ⊥2 行ではない). d では 1行2行 (1列+2列ではない). 8² a2 8² 12 10 + + + əx² 042 Ər² r² 20² rar + はそもそも考えない. d = (st) at (= (dd) -1): 第α行を ▽ zsa とする行列 lai (4) A = + U= 問題. R3 の極座標でのラプラシアンの表示. (x,y,z)=d(r,0,4)= (rsin A cos o, r sin A sin p, rcos E ↓ = Φ-1 とする. (1) d = (dd) を求めよ. (2) (fx,fu, fz) = (gr, 1,90, sin694) U, Uは直交行列, と書けることを示せ . cos 0 (3) Ar = ², A0 = A = 0 を示せ . r2 sin 0 8² 182 + Ər-2 2002 / sin A cos y sin A sin y cos A cos o cos A sin - siny cos 1 2 20 cos a + rar r2 sin 000 cos o sin 0 sino cos0 72 sin20042 cos 0 - sin 0 0 は直交行列と書ける. を示せ. | .d=Uの2行目に !を3行目に • itc-lms.ecc.u-tokyo.ac.jp 3 rsin 0 を掛けたもの. Ć

数Bのシグマの計算についての質問です 写真にある式のΣの計算にある3(3n乗―1 ―1)の計算の仕方をもう少し詳しく教えてください。計算の仕方がよく分かりません

(2) 初項 3,公比 3, 項数n-1であるから 3'=333-11-1/(3-3) k=1 qn

高校2年生数学Bの質問です。 問題→次の和を求めよ。 写真の(3)が解説や教科書を見ましたが、やり方が分かりません。 教えて頂きたいです。

0 次の和を求めよ。 *(1) 3.4k-1 n k=1 (2) n Σ 5k k=1 *(3) IMI co|- I k=1 3k →教p.27 例

必須問題がわかりません。解説お願いします。

問1 【任意】 動画で説明したコーシー・シュワルツ不等式を証明する.但し, 動画で説明した方法で示すこと. 問2 【必須】 回帰分析で誤差の平方和Σ-16の平均を表す2次関数をその 最小値が分かるように省略なく変形する. 問3 【必須】 動画で定めた 1 = a(10の位), π2=a+b, zy = b-α, y = b(1の位), y2=a+4,33=6+2 に対してその基本統計量を求む、ここで、基 本統計量は動画で説明したもので良い. また､小数で表したものは不可とす る. 問4 【任意】 決定係数を定義する際に紹介した恒等式に関する命題を示す. 問5 【任意】 決定係数の定理を示す. 1

次の等式を数学的帰納法で示す問題ですが全然分かりません💦丁寧に教えて下さると助かります！

n n-1 n . (a₁ + a₂ + ··· + an)² = Σa² + 2[[ k=1 l=1 k=l+1 a jak

代数学の問題なのですが解答を見てもよくわかりません。どなたか教えてください。

V を基底 {e1,2,.., en} を持つR 上のn次元ベクトル空間とする. Sm の元 (0²1) (n)) a= 2 (1) σ(2) n-1 o(n − 1) o(n) に対し、線形変換 fo : V → V を fo (ei) = ed(i) により定める. (i) 基底 {e1,2,..., en} に関するfo の表現行列をTと置くとき。 To により 定まる写像 R : Sn → GLn (R) は 準同型写像になることを示せ. (一般に群 G から群 GL (R) または GL, (C) への準同型をGの行列表現と言う. 上の事実 は R が S の 行列表現を与えることを示している.) (i) 任意の , TES と任意のeに対して o, Sn froo(ei) = e(ror)(i)=er(o(i))=fr(er(i))=f(fo(ei)) = (fro fo) (ei) より frog の表現行列は T,T。 です.よって 4(0) = T。 とすれば Y(TOO) = T₁To = Y(T)Y(0)

解説お願い致します。

4. 等比級数 Σro (cos+isine) = n= (cosk+isin kl) を経由して,つ ぎの関係式を示せ ここで, cos0+isin0≠1と仮定する *) sin(n+1)0 cos no 1 + cos0 + cos 20 + ... + cosmd = in 12/20 解答:

テキストには写真の（2.13）と（2.15）より（2.15）式の右辺、左辺の定数項について求められるとしていますが、求め方が分かりません。どのように考えた場合定数項について求められるかを教えてください

}) (0) で .11) xx-th-1² tr 1 n-1 (2.12) Page bi age 171 EN (T 20 君のこと Page +1)= 172 l を上昇階乗ベキと呼ぶ。 この両者をあわせて, 階乗ベキと呼ぶことにする。 2.3 スターリング数 2.2節で学習したように、 階乗ベキは差分演算のなかで有効な計算手段 である。 ここでは,スターリング (Stirling *3) 数を利用して下降階乗ベ キュ”と単項式”の関係を学習する。 ここでnは2以上の自然数とし ておく。 実際には、下降階乗ベキを多項式で表すこと, 単項式を下降階 乗ベキの一次結合で表すことを問題意識とする。 まず、前者については x² = x² +Nn-1,nxn-1 +...+₁,nx = Σnj,n x² in (2.13) j=0 と表せる。ここで,Vn,n=1,70,n=0, さらにnjin=0,j>nであり, 7j,n は漸化式 In=zn+in-1,n n - njn+1=nj-1,n nnjin, 1≤j≤n x² (x-1) {[ (x-1) (x-2) * \\ { XL-{h+1) +2) (x −(n+1)+1) (2.14) を満たす。実際,zn+1=cℓ.(x-n) であるから、この式の両辺をライ プニッツの公式 *4 を利用して回微分すると, 積の微妙で、()は2階 (xn+¹)(i) = (x²)(i). (x − n) + j(x²)(i-1)³025 (2.15) を得る。2.13) から (215) の左辺の定数項は, j! 7jn+1 であり, (2.15) の右辺の定数項は-nj! nijn+j.(j-1)! nj-1 である。 したがって、 う! で割って比較することで, (2.14) が導かれる。 また,後者については, 第2章 差分法 | 37 n xn-¹ +...+ñ₁, x² = Σnk,n x² k=0 x. ?jn+の区間の生き残り処理する? (2.16) と表せる。 ここで, in,n=1,70,n=0, さらに ik,n=0,knであ り kn は漸化式 *3 James Stirling, 1692-1770, スコットランド, スターリングによって書かれた ものに [163] などがある。 *4 1.4.2の定理 1.4を参照のこと。 > (x^²+1) = x^² + Mn₁n₁₁ X²