2021年 物理学演習2 第13回
デルタ関数
関数f(x)がどのような関数であっても次のような関係を満たす8(x) をデルタ関数という。
「r86) = f0)
JO (x * 0)
l0(x = 0)
8(x) =
このデルタ関数は物理学者の P.A. Dirac によって発明された。名前に関数とついているが、正確
には関数ではなく汎関数の一種の超関数で、線型性と連続性などを満たした汎関数である。
関数:
数 → 数 例えば x → y=f(x)
汎関数:関数 → 数例えば f(x) → f(0) = Sf(x)6(x)dx
デルタ関数は関数では無いが、実際には下記のような関数の極限とみなすことができ、どの表現も
同等である。
8(x) = lim 8,(x),
ど→+0
8,(x)
= {o (x> £/2)
1
28
8(x) = lim 8,(x),
E→+0
6,(x) =
2x?+ 2
1
8(x) = lim 8,(x),
ど→+0
6(x) =
e
VTE
8(x) = lim 8,(x),
1
8,(x) =
「e-ddk
Zt J-o
1(x2 0)
lo (x < 0)
8(x) = 0'(x), 0(x) =
3次元のデルタ関数は以下のように1次元のデルタ関数の積になる。
8(r) = 6(x)6(y)8(z)
(o (x =y=z= 0)
lo (x =y=z=0以外の場合)
8(r) =
問題13-1
f(x)はx| → oで0となるなめらかな関数とする。デルタ関数8(x)
f(x)6(x - a)dx= f(a)
について次の性質を証明しなさい。
(1) x6(x) = 0
(2) 6(ax) =
)(a>0)
(3) 6(x) = 0°(x)
so (x< 0)
l1 (x> 0)
0(x)は階段関数(ヘビサイド関数)であり、e(x) =
である。
{8(x - a) + 6(x + a)}(a> 0)
問題13-2
正規分布を表す次式
= (x)9
がa→ +0 のときにデルタ関数となることを証明しなさい。
1
-exp
V2To
2g2
