.
上極限 下極限
数列{a} = に対し, n番目以降の数を集めた集合 An = {an, On+1, On+2, ... } を考える.
b₁ = sup An
n = inf An
=1
=1
とおくと,{bn} は減少列で, {c} は増加列である. 故に, {bn} は実数値に収束するか-∞
に発散する.同様に,{c}=1 は実数値に収束するか+∞ に発散する.
定義 (上極限下極限)
{an} -1 の上極限 lim sup an
lim an
lim sup ak
inf supak
00
812
def.
n+x k≥n
nENkn
{an} -1 の下極限 lim inf an = lim an
Ex. an=(-1)" + 10-" とおくと, {an} は発散するが,
lim inf ak
= sup inf ak
n-x
004-2
def.
nokin
nЄN kn
lim supan = 1,
lim inf an =
-1
004-2
x+u
[42] 次の数列の上極限 下極限を求めよ.
•
(1) an = (-1)" +
1
(2) an=
=(-1)n
(3) an = sin
nπ
n
3
