$2. 平面曲線
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さて,逆に2つの曲線 p(s) と 戸(s) の曲率 r(s) と r(s) が等しいなら
ば,戸はpから回転と平行移動によって得られることを証明しよう。その
ために,まず,適当な回転と平行移動で,1つのパラメーター値 so におい
て,
(2.33)
p(so) = p(so), e₁(So) = ē1(So)
(したがって, ez(so)=e2(so)) となるようにする. 曲線pと戸を点の運動
と考えたとき,出発時 so において, p と 戸の位置および速度ベクトルが一
致するようにしておくわけである. このような状態のとき p(s)=(s) が
すべてのsに対して成り立つことを示せばよいわけである。
まずベクトル el, ez, el, ez の成分をそれぞれ
e₁ = (§11, §12),
e2 = (§21, 22),
(2.34)
ē₁ = (§11, 12),
ē2 = (§21, 22)
と表して、2つの行列
11 12
§11 12
(2.35)
X =
X =
€21
21 22
を考える.eとeは直交している単位ベクトルであるから, Xは直交行
列,同様にXも直交行列である. p (so) = (so) であるから p(s) = n(s)
を証明するためには, p(s) - 戸(s) がsによらない定ベクトルであること,
すなわち
(2.36)
d - (p(s) — p(s)) = 0
ds
を示せばよいわけである。 (2.36) の左辺は er(s) er(s) であるから
ku(s) = n(s) 512(s)=E12(s) を証明すればよいのであるが,そのため
に
(2.37)
(§11 — §11)² + (§21 - 21)² = 0,
(§12 — §12)² + (§22 — § 22)² = 0
となることを証明する。ここで (Sun)+ (512-12)2 を考えないで
(2,37) を考えるところが証明の要点といえる。
