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の1 流れの運動学
8
1
= (u.V)u
U
のようにして得られた. 記号▽はナブラ (nabla) とよみ
0
鶏分(1.14)
0
マ= e』
+ ey
Oy
0z
のように定義される演算子 (operator) であるす. ea, ey. Ez はそれぞれ』軸,
軸,2軸の正の向きに向かう単位ベクトル (unit vector) で, これらを基本ベク
トル (fundamental unit vector)という。
式(1.12) の両辺を At でわって, At →0 の極限をとると,流体粒子の受け
る加速度a(z,t) を求めることができ
に
Au
a(x, t) = lim
+ (u-V) u(z, t)
At→0 At
Ot
D
-u(x,t)
Dt
となる.ただし
D
+u.V
Ot
Dt
で,D/Dt をラグランジュ微分 (Lagrangian derivative),あるいは実質微
分(substantial derivative), あるいは物質微分 (material derivative) という。
Du/Dt= Ou/0t+ (u.V)uの右辺第1項は, 流体中のある点aをつぎつぎと
通過する流体粒子の速度の時間的変化の割合を表しており,局所加速度 (local
acceleration) とよばれている. また第2項は,点cにある流体粒子がある瞬間
にその前後の流体粒子の速度差のために受ける速度の時間的変化割合で対流加
速度 (convective acceleration) とよばれている。
ラグランジュ微分 D/Dtは, オイラーの方法の意味で »とtの関数として表
された量,すなわち 「場の量」に対してのみ作用させることができる. なぜな
ら,その定義式(1.16) の右辺は, 独立変数を αとtとするときの偏微分0/0tと
▽によって構成されているからである. aとtの任意関数 f(z,t) のラグラン
ジュ微分は,式(1.15) を導いた過程から理解できるように, 流れに伴う f(x.t)
の時間的変化の割合,すなわち, 流体粒子の軌跡に沿っての f(z,t) の時間的変
化の割合を表す。
十演算子▽をスカラー関数f(a)に作用させて得られるVfは, f の勾配 (gradient) とよばれ
る。▽をスカラー関数に作用させたときは▽の代わりに grad という記号を使ってもよい。す
なわち, ▽f=gradf. 後に述べるように, ▽をベクトルとみなしてベクトル関数に作用させ
る(内積をとる)ときは, 記号 gradは使わない、ただし、式(1.13) の▽は grad を使って書
くことができる。
