次の1から4までの問題をすべて解答せよ.
1 以下の問いに答えよ.
n² - 2n-3
(1) an=
-3n²+1
1-n
(1) A1=
1
とする. lim an = -- を 論法によって証明せよ.
3
84x
(2) an =
2+√n
(3) 次の各性質をみたす数列の例をあげよ.
とする. lim an =-∞ を 論法によって証明せよ.
E
n→∞
(a) {an}, {bn} はともに発散するが, {an+bn}は収束する
(b){an},{bn}はともに収束するが,
は発散する
an
bn
(c) {an} は発散するが, {an} は収束する
2 次の集合の上限・下限・最大値・最小値を求めよ.ただし, 答えのみでよい.
-{"=¹ | n=N} (2) A2=
{mitm_mnes}
mnEN
n
(4) A4 = {x ∈ Q|x²-2-1 < 0}
m
(3) A3= + (−1)n+1¹ m, ne
neN}
n
3
③a> を定数とする. 数列 {an} を a1 = α, an+1 = V2an + 3 (n ∈N)によって定義す
3
2
る. このとき, {an} が収束することを示し, lim an を求めよ. ただし, {an} の収束性を示す際,
n→∞
「講義スライドの定理 2.7 (有界単調数列の収束)」 または 「教科書第1章定理3 (p.6)」 を用い
ること.また, lim an を求める際, 関数 v2 +3 の連続性を用いてよいものとする.
n→∞
※ 「- <a <3」, 「a = 3」, 「a> 3」 と場合分けして議論してみよ)
an+1
4④4{an}はan>0 (VEN) および lim =rをみたすものとする. 以下の問いに答えよ.
n→∞ an
(1) r <1のとき lim an = 0 が成り立つことを示せ .
n→∞
(※r+e < 1 をみたす > 0 を1つとって議論してみよ)
(2)r>1 のとき lim an = +∞ が成り立つことを示せ .
n→∞
(※r-e> 1 をみたす > 0を1つとって議論してみよ)
