●数列と関数の種用
●r-N論法で、数列の極限を攻略しよう!
投川 a,が与えられたとき、その極限lima, の題は高校でも既に勉
る
強しているね。でも,数列{a}が極限値caをとることを示す厳密な証明
よ-N論法をマスターする必要があるんだよ。
法として,大学の数学では、
(*イブシロン,エスろんぼう"と読む
まず、この-N論法”を下に示す。
-N論法
正の数をどんなに小さくしても,ある自然数Nが存在して、
がn2Nならば、la,-a|<e となるとき、
lim a,=a となる。
→ 0
の
がけでは、なんのことかわからないって?当然だね。ここは、大学
A
の政学を勉強する上で,みんなが最初にひっかかる第1の関門だから丁寧
に、
に話すよ。
この意味は,正の実数eを小さな値,たとえば,=0.001にとったとし
と
ても,ある自然数Nが存在して,数列a, a2, …, axN-1, ax, ax+1, のうち、
理
nENのもの,すなわち an, av+1,…に対して,a との差|a@-al が,
埋
E=0.001 より小さく押さえられる,と言っているんだね。
集
ここで,正の実数eは連続性と潤密(ちゅうみつ)性をもつので、これ
を限りなく0に近づけていくことができる。それでも,あるNが存在して、
と
と
1ZNをみたす a, について, |a,-a|<eが成り立つといっているわけだか
2, 1→00のとき,a,はaに限りなく近づいて lim a,=a と言えるわけ
だね。納得いった?
→ 00
でれでは,例題でさらに具体的に解説しよう。一般項a,が
4,=-」
(n=1, 2, 3, …)で与えられたとき,この極限を次のように求
n+1
りるやり方が,高校までの手法だったんだね。
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L
