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23 【解答】
$(x²-2x+a)²+(x²-2x+à)+b=0
において, x2-2x+α=X とおくと, ① は
X2+X+6=0
②の実数解は,放物線Y=X2+x+b=(x+12) 2+6-1/14(=f(x)とおく)
YA
とX軸との共有点のX座標である。
条件 61
4
より ② は異なる2つ実数解をも
2 OK
つ.それらを X1, X2 (X1<X2) とする.
このとき①の実数解は
x2-2x+α=X1,
と
x2-2x+α=X2
の実数解である。すなわち 解=共有点
ぬと
( 2つの2次方程式)
条件の
数式化
放物線y=x2-2x+a=(x-1)'+α-1
2直線y=X1, y=X2 (X1<X2)
との共有点のx座標である.
したがって, 求める条件は, (図2)より
y=x2-2x+α と y=X2 が
0<x<1 で共有点を唯1つもち,
q
すなわち, (図1) において, X, <a-1 < X2 <a だから,
f(a-1) <0かつf(a) > 0
⇔ (a-1)^2+(a-1)+6<0, a²+a+b>0
y=x2-2x+α と y = X1 は
( 4次方程式)
共有点をもたないことである.
⇒-a²-a<b<-a²+a.
2
-(a + 1)² + 1 < b <- (a - 2 ) ² + 1 (<4).
2
4
Y=f(x)
これと6</1/23より,点(a,b)の存在範囲は
右図の斜線部分 (境界は除く)。
(答)
(注)(図2)より、 残りの解xの存在範囲は1<x<2.
a-1 2
y=X₁
1
I
-1
I
bA
4
0
O
X1
x22
-y=X2
O 10
2
2
(図1)
Ex
(<0)
(図2)
a
y=(x-1)²+a-1
b=-a²-a_b=-a²+a
