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重要 例題282 共通部分の体積
両側に無限に伸びた直円柱で, 切り口
が半径aの円になっているものが 2
つある。いま,これらの直円柱は中心
中心軸
π
軸が一の角をなすように交わってい
4
るとする。交わっている部分(共通部
8章
分)の体積を求めよ。
[類 日本女子大]
40
基本270,271
体
積
指針>重要例題 281 と同様に立体のようすはイメージしにくいので, 断面を考える。
立体の体積 断面積をつかむ
ここでは,中心軸が作る平面からの距離がxである平面で切った断面を考える。直円柱は,
その中心線と平行な平面で切ったとき, 断面は幅が一定の帯になる。したがって, 帯が重
なっている部分の断面積を考える。
解答
2つの中心軸が作る平面からの距離がxで
ある平面で切った断面を考える。
の幅2/αーx° の帯が角-で交わっている
/π
)4
C
4
2-
1
から,その共通部分は1辺の長さが
2ー/2-2v/2V-x
のひし形である。
切断面のひし形の面積は
2/21αーx·2/ー
「TI
)4日
真横から見た図
Va?
E42 (α-x)
x
よって,求める体積を Vとすると, 対称性から
V=2),4/2 (αーズ)dx
3
16/2
3
練習 4点(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) を頂点とする三角錐を C, 4点
282 (0, 0, 0), (-1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)を頂点とする三角錐をx軸の正の
方向にa (0<a<1) だけ平行移動したものをDとする。
「のとき CとDの共通部分の体積V(a) を求めよ。 また, V(a) が最大になると
+C650
レ 。
